Kasutaja:Kornas9/liivakast

Poissoni protsess (ingl Poisson process) on jada diskreetsetest sündmustest, kus keskmine aeg sündmuste vahel on teada, aga täpne sündmuste toimumisaeg on teadmata. Poissoni protsess vastab järgnevatele kriteeriumitele:

Sündmused on teineteisest mittesõltuvad. Ühe sündmuse toimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumise tõenäosust.
Kaks sündmust ei saa toimuda üheaegselt.
Sündmuste toimumine ajavahemike kohta on konstantne. ^[1]

Homogeenne Poissoni protsess[muuda | muuda lähteteksti]

Loendav protsess

Loendav protsess on juhuslik protsess $\{N(t),t\geqslant 0\}$ , kui $N(t)$ tähistab ajavahemikus $[0,t]$ toimunud sündmuste koguarvu. ^[2]

Poissoni protsessi definitsioon

Loendavat protsessi $\{N(t),t\geqslant 0\}$ nimetatakse Poissioni protsessiks, kui

ajahetkel 0 toimub 0 sündmust,
protsessi juurdekasvud on sõltumatud(st. iga $t_{1}\leq t_{2}\leq t_{3}\leq t_{4}$ korral $N(t_{4})-N(t_{3})$ ja $N(t_{2})-N(t_{1})$ on sõltumatud juhuslikud suurused),
sündmuste arv mistahes lõigul pikkusega $t$ on Poissioni jaotusega juhuslik suurus keskväärtusega $\lambda t$ ^[2]

Kuna teame, et Poissoni jaotuse puhul keskväärtus $EX=\lambda$ , siis näeme, et 3. seose järgi Poissoni protsessis on $EX=\lambda t$ . $\lambda$ nimetatakse Poissoni protsessi intensiivsuseks. ^[2]

Tõenäosus, mitu sündmust toimub antud ajavahemikus

${\textstyle {\textbf {P}}\{N(t+s)-N(s)=n\}={\frac {(\lambda t)^{n}}{e^{-\lambda t}}},n=0,1,2,...}$ ^[2], kus

$n$ on sündmuste toimumiste arv ajavahemikus $[s,t]$

Tõenäosus, millal toimub järgmine sündmus

${\textbf {P}}(T>t)=e^{-\lambda t}\rightarrow {\textbf {P}}(T\leq t)=1-e^{-\lambda t}$ ^[1]

Näide Poissoni protsessidest

$N(t)$ on näiteks poes tehtud ostude arv ajahetkeks $t$ .

Mittehomogeenne Poissoni protsess[muuda | muuda lähteteksti]

Mittehomogeenses Poissoni protsessis sõltub intensiivsus $\lambda$ ajast $t$ .^[2]

Defineerimiseks kasutame sümbolit $o(t)$ , mis tähistab kõrgemat järku lõpmata väikest suurust võrreldes suurusega $t$ vaadeldavas protsessis.^[2]

Mittehomogeenne Poissoni protsess

Loendavat protsessi $\{N(t),t\geqslant 0\}$ nimetatakse homogeenseks Poissoni protsessiks, kui

ajahetkel 0 toimub 0 sündmust,
juurdekasvud on sõltumatud,
${\textbf {P}}\{N(t+h)-N(t)=1\}=\lambda (t)h+o(h),h\rightarrow 0,\forall t$ korral
${\textbf {P}}\{N(t+h)-N(t)\geqslant 2\}=o(h),h\rightarrow 0,\forall t$ korral^[2]

Keskväärtusfunktsioon

Mittehomogeenses Poissoni protsessis nimetatakse keskväärtusfunktsiooniks funktsiooni $m(t)$ .

Tõenäosus, mitu sündmust toimub antud ajavahemikus

Nüüd on tähtis suurus $m(t)=\int \limits _{0}^{t}\lambda (s)ds$ . Näitame, et sündmuste arv lõigul $[t,t+s)$ on Poissioni jaotusega juhuslik suurus keskväärtusega $m(t+s)-m(t)$ :

${\textbf {P}}\{N(t+s)-N(t)=n\}={\frac {(m(t+s)-m(t))^{n}}{n!}}e^{-[m(t+s)-m(t)]},n\geqslant 0$ ^[2]

Näide mittehomogeensest Poissoni protsessist

$N(t)$ on külastajate arv poes, kuid teame, et hommiku poole on külastajate intensiivsus suurem kui õhtul.

Poissoni protsessi omadusi[muuda | muuda lähteteksti]

Osaprotsessid

Vaatleme Poissoni protsessi $\{N(t),t\geqslant 0\}$ intensiivsusega $\lambda$ . Olgu selles protsessis kahte tüüpi sündmusi, näiteks poes müüakse kahte teenust: I tüüpi tõenäosusega $p$ ja II tüüpi tõenäosusega $(1-p)$ .

Olgu I ja II tüüpi sündmuste arv vastavalt $\{N_{1}(t),t\geqslant 0\}$ ja $\{N_{2}(t),t\geqslant 0\}$ . Kogu protsessi sündmuste arvu leidmiseks võime: $N(t)=N_{1}(t)+N_{2}(t)$ .^[2]

Kompositsioon

Poissoni protsessis kehtib, kui on kaks sõltumatut Poissoni jaotusega juhusliku suurust, siis nende summa on samuti Poissoni jaotusega, kusjuures parameetrid liituvad.^[2]

Järjelikult kui $\{N_{1}(t),t\geqslant 0\}$ ja $\{N_{2}(t),t\geqslant 0\}$ on intensiivsustega $\lambda _{1}$ ja $\lambda _{2}$ , siis $\{N(t),t\geqslant 0\}$ korral $\lambda =\lambda _{1}+\lambda _{2}$ .