Fermat' printsiip

Allikas: Vikipeedia


Fermat' printsiip (Pierre de Fermat järgi) või vähima aja printsiip on printsiip optikas, mis väidab, et valguskiir punktist A punkti B levib mööda teed, mille läbimiseks kulunud aeg on minimaalne.[1]


Fermat’ printsiibist on võimalik tuletada valguse murdumis- (Snelli seadus) ja peegeldumisseadus kahe erineva optilise keskkonna piirpinnal.

Ajalugu[muuda | redigeeri lähteteksti]

Pierre de Fermat

Aleksandria Heron uuris oma teoses “Catoptrica” valguse peegeldumist, kus ta väitis, et valgus läbib punktist S punkti P peegeldumisel sellise tee, mis on kõige lühem.[2]

1637. aasta alguses kirjutab Descartes oma teoses “Dioptrique”, kuidas valgus levib vees ja leiab valemi vähima aja jaoks, ent kasutab olukorra piltlikustamiseks väga veidraid näiteid ega räägi katsetest valguse endaga.

Üldise põhimõtte vähima aja printsiibi jaoks avaldas Fermat’ oma kirjas 1. jaanuaril 1662 Cureau de la Chambrele. Kirja sisu kohtas aga tugevat vastuseisu Descartes austajalt Claude Clerselier’lt, kes oli omal ajal tugev ekspert optikas. Clerselier, nagu ka teisedki Descartes austajad, ei uskunud, et valguse levimiseks kuluks õhus vähem aega kui vees.[3]




Kaasaegne käsitlus [4][muuda | redigeeri lähteteksti]

Valguse poolt lõpmatult väikse lõigu ds läbimiseks on vajalik aeg  dt =\frac{ds}{v} , kus v on valguse kiirus keskkonna antud punktis. Asendades kiiruse valemist  n = \frac{c}{v} kus c on valguse kiirus vaakumis ning n keskkonna murdumisnäitaja, näeme, et  dt = \frac{nds}{c} . Järelikult saame punktide A ja B vahelise tee läbimiseks kuluva aja arvutada valemist.

 t =\frac{1}{c} \int_{\mathbf{A}}^{\mathbf{B}} n\, ds\

Fermat’ printsiibi kohaselt peab t olema minimaalne. Kuna valguse kiirus vaakumis on konstantne siis ekstreemumi tingimus kehtib ka järgneva suuruse kohta.

 L = \int_{\mathbf{A}}^{\mathbf{B}} n\, ds\

Suurust L nimetatakse optiliseks teepikkuseks. Homogeenses keskkonnas on optiline teepikkus võrdne geomeetrilise teepikkuse s ja murdumisnäitaja n korrutisega.

L= n\, s\

Lähtuvalt eelnevast, võib Fermat’ printsiibi formuleerida järgnevalt: Valgus levib mööda sellist teed, mille optiline teepikkus on minimaalne.

Peegeldumisseadus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Peegeldumisseaduse tuletamine

Vaatleme peegeldumist kahe keskkonna piirpinnal punktis C (vaata joonist). Kuna valgus levib ühes keskkonnas, siis valguse kiirus on konstantne ning seeläbi vähima aja leidmine taandub minimaalse teepikkuse leidmisele.

Kogu optiline teepikkus : S= A\, B\ + C\, B\ = \sqrt{h_1^2+a^2} + \sqrt{h_2^2+b^2}

Leiame sellise c kordinaadi, millele vastab minimaalne optiline teepikkus. Selleks leiame funktsiooni S(c) miinimumi:

 \frac{dS}{dc} = \frac{a}{ \sqrt{h_1^2+a^2}} - \frac{c-a}{ \sqrt{h_2^2+(c-a)^2}}

ehk

(c-a)^2(h_1^2+a^2)=a^2(h_2^2+(c-a)^2)
(c-a)^2 h_1^2=a^2 h_2^2
a_1,_2=\frac{2c\pm \sqrt{4c^2-4(1- (\frac{h_2}{h_1})^2)c^2}}{2(1-(\frac{h_2}{h_1})^2)}=c\frac{1\pm\frac{h_2}{h_1}}{1-(\frac{h_2}{h_1})^2}=\frac{c}{1\pm\frac{h_2}{h_1}}

kuna a < c , siis a=\frac{c}{1+\frac{h_2}{h_1}}= c\frac{h_1}{h_1+h_2}

Vaatame, millega võrduvad nurkade  \alpha ja  \beta tangensid ja võrdleme neid omavahel.

\tan(\alpha)=\frac{h_1}{a}=\frac{h_1+h_2}{c}
\tan(\beta)= \frac{h_2}{c-a}=\frac{h_2}{c(1-\frac{h_1}{h_1+h_2})}=\frac{h_1+h_2}{c}


\tan(\alpha)=\tan(\beta) \rightarrow \alpha= \beta

Näeme, et nurgad on võrdsed. Seega saamegi peegeldumisseaduse ühe tingimuse, mis ütleb, et valguse langemisnurk on võrdne peegeldumisnurgaga.

Murdumisseadus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Murdumine kahe keskkonna piirpinnal

Uurime valguse üleminekut ühest optilisest keskkonnast teise. Kuna valgusel on erinevates keskkondades erinev kiirus, siis punktist A punkti B liikumisel ei ole sirgjooneline liikumine ajaliselt kõige optimaalsem. Tinglikult öeldes soovib valgus võimalikult palju liikuda seal, kus saab kiiresti liikuda, ning vastupidiselt võimalikult vähe seal, kus liikumine on aeglasem. Seega keskkondade piirpinnal valguskiir muudab oma suunda – murdub. Järgnevalt vaatame, millest sõltub murdumisnurk  \gamma (vaata joonist).

t= \frac{S}{v}
v=\frac{c}{n}
b = d-a

Kogu ajavahemik:

t=t_1+t_2=\frac{\sqrt{a^2+h_1^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2+h_2^2}}{v_2}=\frac{n_1\sqrt{a^2+h_1^2}}{c}+\frac{n_2\sqrt{b^2+h_2^2}}{c}

Leiame funktsiooni  t(a) miinimumi:

\frac{dt}{da}=\frac{\partial t}{\partial a} +\frac{\partial t}{\partial b}\frac{db}{da}=\frac{n_1 a}{c\sqrt{a^2+h_1^2}}-\frac{n_2 b}{c\sqrt{b^2+h_2^2}}=0

Jooniselt on näha, et  \frac{a}{\sqrt{a^2+h_1^2}}=\sin(\alpha) ja  \frac{b}{\sqrt{b^2+h_2^2}}=\sin(\gamma)

Saame tuntud seose  n_1\sin(\alpha)-n_2\sin(\gamma)= 0  ehk  \frac{sin(\alpha)}{sin(\gamma)}=\frac{n_2}{n_1}

Valguse levimine lineaarselt muutuva murdumisnäitajaga keskkonnas  n = ax[muuda | redigeeri lähteteksti]

Valguse levimine lineaarselt muutuva murdumisnäitajaga keskkonnas

Minimeerime aja integraali  t=\int dt

 dt=\frac{ds}{v} ning  v=\frac{ds}{dt}
 t=\int dt =\int \frac{ds}{ds}dt=\int\frac{ds}{v}=\int\frac{a x}{c}ds=\frac{a}{c}\int x\sqrt{dx^2+dy^2}=\frac{a}{c}\int x\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}=\frac{a}{c}\int x\sqrt{1+y'^2}dx

Selleks, et eelnevat integraali minimeerida, kasutame Euler-Lagrange’i võrrandit.

 \frac{\partial L}{\partial y(x)}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'(x)}=0

Kus  L on Lagrange'i funktsioon. Antud juhul  L= x\sqrt{1+y'^2}

Kuna  \frac{\partial L}{\partial y}=0 siis  \frac{\partial L}{\partial y'}=\frac{x y'}{\sqrt 1+y'^2}=C_1 , kus  C_1=const

Edasi teisendades

x^2y'^2=C_1^2 (1+y'^2)
(x^2-C_1^2)y'^2=C_1^2
\frac{dy}{dx}=\sqrt\frac{C_1^2}{x^2-C_1^2}
y=\int\sqrt\frac{C_1^2}{x^2-C_1^2}dx=C_1 \operatorname{acosh}\,(\frac{x}{C_1})+C_2
C_2\rightarrow -c_2 , C_1\rightarrow c_1
x=c_1 \operatorname{cosh}\,(\frac{y+c_2}{c_1})


Trajektoori puutuja tõus

Konstandid saame leida tingimustest:

x_0=c_1 \operatorname{cosh}\,(\frac{y_0+c_2}{c_1}) ja   x_1=c_1 \operatorname{cosh}\,(\frac{y_1+c_2}{c_1})

või

x_0=c_1 \operatorname{cosh}\,(\frac{y_0+c_2}{c_1}) ja \left.\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right|_{y_0} =c_1 \operatorname{sinh}\,(\frac{y_0+c_2}{c_1})=\tan(\beta_0)

Teisel juhul saame:

(\frac{x_0}{c_1})^2=\operatorname{cosh}\,^2(\frac{y_0+c_2}{c_1})
 \tan^2(\beta_0)=\operatorname{sinh}\,^2(\frac{y_0+c_2}{c_1})

ja kasutades seost  \operatorname{cosh}\,^2(\sigma)-\operatorname{sinh}\,^2(\sigma)=1, saame

(\frac{x_0}{c_1})^2-\tan^2(\beta_0)=1 \rightarrow c_1=\frac{x_0}{\sqrt{1+\tan^2(\beta_0)}}=x_0 \cos(\beta_0)

Asendades eelneva konstandi avaldisse  x_0=c_1\operatorname{cosh}\,(\frac{y_0+c_2}{c_1}),saame

 c_2=c_1\operatorname{acosh}\,(\frac{x_0}{c_1})-y_0=x_0 \cos(\beta_0)\operatorname{acosh}\,(\frac{1}{\cos(\beta_0)})-y_0=x_0 \cos(\beta_0)\operatorname{ln}\,(\frac{1+\sin(\beta_0)}{\cos(\beta_0)})-y_0


Kokkuvõttes

 x=x_0 \cos(\beta_0)\operatorname{cosh}\,(\frac{y-y_0}{x_0 \cos(\beta_0)}+\operatorname{ln}\,(\frac{1+\sin(\beta_0)}{\cos(\beta_0)})), x  \geq  \frac{1}{\alpha}

Looduses[muuda | redigeeri lähteteksti]

Sipelgate liikumine

Tähelepanelikud vaatlejad on märganud, et sipelgad käituvad üsna sarnaselt valgusele valides punktist A punkti B liikumisel enda jaoks kõige optimaalsema teekonna. Kui neil on valida mitme trajektoori vahel, kus kõige lühem tee ei pruugi ajaliselt olla kõige kiirem, siis nad valivad raja, mis võtab liikumiseks kõige vähem aega, täpselt nagu valgus.[5]








Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. Geomeetrilise Optika loengumaterjal, Matti Laan. (eesti keel)
  2. Aleksandria Heron. (inglise keel)
  3. Fermat’s Work on Refraction: A History. (inglise keel)
  4. Füüsika üldkursus ( 3. osa ) Igor Saveljev Tallinn „valgus“ 1979, lk 11
  5. Ants follow Fermat's principle of least time. (inglise keel)