Banachi-Tarski paradoks

Banachi-Tarski paradoksi kohaselt saab kera jagada lõplikuks arvuks osadeks ning panna need uuesti kokku kaheks esialgsega ühesuuruseks keraks.

Banachi–Tarski paradoks on teoreem hulgateoreetilises geomeetrias, mille kohaselt saab kolmemõõtmelises ruumis kera jagada lõplikuks arvuks lõikumatuteks punktihulkadeks ja neid osasid üksnes nihete ja pöörete abil liigutades kokku panna kaks esialgsega ühesugust kera.

Selle teoreemi sõnastasid ja tõestasid poola matemaatikud Stefan Banach ja Alfred Tarski 1924. aastal. Õieti näitasid nad, et kehtib Banachi-Tarski paradoksi üldisem kuju: kui $n \geq 3$, siis iga kahe tõkestatud mittetühja sisemusega punktihulga korral eukleidilises ruumis $\mathbb{R}^n$ saab esimese hulga jagada lõplikuks arvuks lõikumatuteks punktihulkadeks, millest nihutamiste ja pöörete abil saab kokku panna teise hulga.

Raphael M. Robinson näitas 1947. aastal, et vähim arv tükke, milleks esialgse kera Banachi-Tarski paradoksis jagada saab, on viis: kolmest tükist pannakse kokku üks esialgsega samasugune kera ja ülejäänust kahest teine.

Arvteljel $\mathbb{R}$ ega tasandil $\mathbb{R}^2$ Banachi-Tarski paradoks ei kehti, kuid Banachi-Tarski paradoksi ja tema üldisema kujuga analoogilised väited jäävad kehtima, kui lubada lõpliku arvu asemel loenduvat hulka juppe.

Sõna paradoks kasutatakse siin vastuolu tõttu geomeetrilise vaistuga: kera kahekordistamine juppide pööramise ja nihutamise teel tundub võimatu, sest pööramine ja nihutamine peaksid säilitama ruumala — ometi ruumala kahekordistub. Matemaatikas lahendatakse see vastuolu öeldes, et mõned punktihulgad ruumis võivad olla mõõtumatud, s. t. nii keerulise ehitusega, et nende ruumalast ei saa üldse kõnelda. Seega näitab Banachi-Tarski paradoks vaid, et ruumala mõistet ei saa mõistlikult laiendada kolmemõõtmelise ruumi kõigile punktihulkadele: osadest, milleks kera selles paradoksis jaotatakse, peavad vähemalt mõned olema mõõtumatud.

Banachi-Tarski paradoksi tõestamisel kasutatakse hulgateooria palju vaidlusi tekitanud valikuaksioomi. 1964. aastal näitas Robert Solovay, et Zermelo-Fraenkeli hulgateoorial leidub mudel, kus ruumala mõiste saab laiendada ruumi $\mathbb{R}^n$ kõigile punktihulkadele iga naturaalarvu $n$ korral (vt. jaotist Seos valikuaksioomiga), ning järelikult valikuaksioomi kasutamata Banachi-Tarski paradoksi tõestada ei saa.

Kuna valikuaksioomist järeldub, et on olemas mõõtumatud hulgad (näiteks kera osad Banachi–Tarski paradoksis), on mõned matemaatikud otsustanud kasutada ilma valikuaksioomita hulgateooriat. Valdav enamik tänapäeva matemaatikuid aga tunnustab siiski valikuaksioomiga Zermelo-Fraenkeli hulgateooriat ning seega ka Banachi-Tarski paradoksi kehtimist.

Täpsem sõnastus

G-paradokssus ja G-võrdlahutuvus

Olgu $X$ mingi hulk ning $G$ rühm, mille elemendid on bijektiivsed teisendused hulgal $X$, nii et rühma $G$ tehteks on teisenduste järjest rakendamine.

Öeldakse, et alamhulgad $A \subset X$ ja $B \subset X$ on $G$-võrdlahutuvad, kui leidub naturaalarv $n$, paarikaupa lõikumatud osahulgad $A_1, ..., A_n \subset A$, paarikaupa lõikumatud $B_1, ..., B_n \subset B$ ning teisendused $g_1, ..., g_n \in G$ nii, et

$A=\bigcup_{i=1}^n A_i, \quad B=\bigcup_{i=1}^n B_i, \quad \forall\ i \in \{1, ..., n\}\ B_i = g_i(A_i).$

Alamhulka $E \subset X$ nimetatakse $G$-paradoksseks, kui tal leiduvad lõikumatud alamhulgad $U$ ja $V$ nii, et $E = U \cup V$, $U$ ja $E$ on $G$-võrdlahutuvad ning $V$ ja $E$ on $G$-võrdlahutuvad.

Banachi-Tarski paradoks

Tähistame E(n) abil ruumi $\mathbb{R}^n$ kõigi isomeetriate (s. o. kaugusi säilitavate teisenduste) rühma ning E⁺(n) abil ruumi $\mathbb{R}^n$ kõigi pöörete ja rööplükete poolt määratud rühma (s. o. rühma, kuhu kuuluvad kõik pöörete ja/või rööplükete järjest rakendamisel saadavad teisendused). Seega E⁺(n) on rühma E(n) alamrühm: rühma E(n) kuuluvad lisaks pööretele ja rööplüketele veel peegeldused.

Banachi-Tarski paradoksi võib siis sõnastada järgmiselt:

Iga kera ruumis $\mathbb{R}^3$ on E⁺(3)-paradoksne.

Banachi-Tarski paradoksi üldistus kõlab nõnda:

Kui $n \geq 3$, siis iga kaks tõkestatud mittetühja sisemusega punktihulka ruumis $\mathbb{R}^n$ on E⁺(3)-võrdlahutuvad.

Seos valikuaksioomiga

1964. aastal näitas Robert Solovay, et kui Zermelo-Fraenkeli hulgateooria on kooskõlaline, siis tal leidub ka mudel, kus iga naturaalarvu $n$ korral on on olemas niisugune ruumi $\mathbb{R}^n$ kõigil alamhulkadel määratud $E(n)$-invariantne loenduvalt aditiivne mõõt, et ühikkuubi $[0, 1]^n$ mõõt on 1. Niisuguses mudelis Banachi-Tarski paradoks ilmselt ei kehti.

Viiteid

• Banach, Stefan; Tarski, Alfred (1924). "Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes". Fundamenta Mathematicae 6: 244–277. 
• Kuro5hin. "Layman's Guide to the Banach–Tarski Paradox".
• Stromberg, Karl (March 1979). "The Banach-Tarski paradox". The American Mathematical Monthly 86 (3): 151–161. Mathematical Association of America. doi:10.2307/2321514. 
• Su, Francis E.. "The Banach–Tarski Paradox" (PDF).
• von Neumann, John (1929). "Zur allgemeinen Theorie des Masses" (PDF). Fundamenta Mathematicae 13: 73–116. 
• Wagon, Stan (1985). The Banach–Tarski Paradox. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-30244-7. 
• Wapner, Leonard M. (2005). The Pea and the Sun: A Mathematical Paradox. Wellesley, Mass.: A.K. Peters. ISBN 1-56881-213-2.