Signumfunktsioon

See artikkel räägib matemaatika mõistest; semiootika mõiste kohta vaata artiklit Märgifunktsioon (matemaatika); pildituvastuse mõiste kohta vaata artiklit Märgifunktsioon (pildituvastus)

---

Signumfunktsioon ehk märgifunktsioon (ladina keelest signum 'märk'), mida sageli tähistatakse kui $\operatorname {sgn}(x)$, on matemaatiline funktsioon, mis eraldab reaalarvu märgi. Funktsioon tagastab positiivsete arvude korral +1, negatiivsete arvude korral -1 ja nullväärtuse korral 0. Seda kasutatakse laialdaselt matemaatikas, arvuti- ja inseneriteaduses, näiteks algoritmide analüüsimisel, juhtimissüsteemides ja signaalitöötluses.

Signumfunktsioon $y=sgn(x)$

Definitsioon

Signumfunktsioon on defineeritud järgnevalt:

$\operatorname {sgn} x=\left\{{\begin{matrix}1,&{\text{kui}}&x>0\\0,&{\text{kui}}&x=0\\-1,&{\text{kui}}&x<0\end{matrix}}\right.$

Funktsioon võtab sisendiks reaalarvu $x$ ja tagastab vastavalt sellele, kas $x$ on positiivne, negatiivne või null, vastava arvu $+1$, $-1$ või $0$.

Signumfunktsiooni saab matemaatiliselt väljendada järgmiselt:

$\operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}$, kui $x\neq 0$

$\operatorname {sgn}(0)=0$

Kompleksarvu signumfunktsioon

Kompleksarvude puhul saab laiendada signumfunktsiooni nii reaal- kui ka imaginaarkomponendi märgi määramiseks. Kompleksarvu $z=a+bi$, kus $a$ ja $b$ on reaalarvud, signumfunktsioon on defineeritud järgnevalt:

$\operatorname {sgn}(z)={\frac {z}{|z|}}$, kui $z\neq 0$

$\operatorname {sgn}(0)=0$

Omadused

Signumfunktsioon on paaritu funktsioon, mis tähendab, et $\operatorname {sgn}(-x)=-\operatorname {sgn}(x)$ mis tahes reaalarvu $x$ korral.

Reaalarvu $x$ absoluutväärtust saab arvutada signumfunktsiooni abil järgmiselt: $|x|=x*\operatorname {sgn}(x)$.

Signumfunktsioon on mitte-pidev kohal $x=0$, sest vasak ja parem piirväärtus ei lange kokku. Mujal on aga pidev.

$\textstyle \lim _{x\to 0 \atop x<0}\operatorname {sgn}(x)=-1\neq \operatorname {sgn}(0)$

$\textstyle \lim _{x\to 0 \atop x>0}\operatorname {sgn}(x)=1\neq \operatorname {sgn}(0)$

Kompleksarvu signumfunktsioon skaleerib arvu säilitades faasi. Teisisõnu, see seab vastavusse kompleksarvu $z$, ühikringi punktiga komplekstasandil, säilitades algse kompleksarvu nurga.

Rakendused

Digitaalne signaalitöötlus

Digitaalses signaalitöötluses kasutatakse signumfunktsiooni signaali polaarsuse tuvastamiseks ja erinevate algoritmide rakendamiseks (kvantimine ja adaptiivfilter).

Kastsignaali saab tekitada järgneva valemiga:

$s(t)=A\cdot {\text{sgn}}(\sin(2\pi ft+\phi ))$

kus $A$ on kastsignaali amplituud, $f$ on kastsignaali sagedus, $t$ on aeg ja $\phi$ on kastsignaali faas.

Juhtimissüsteemid

Signumfunktsiooni kasutatakse juhtimissüsteemides mittelineaarsete süsteemide käitumise modelleerimiseks (hüsterees, küllastus ja surnud tsoon).

Arvutiteadus

Arvutiteaduses kasutatakse signumfunktsiooni erinevates rakendustes näiteks veaparanduskoodis, krüptograafias ja andmete pakkimise algoritmides.