Sierpiński ruum

Sierpiński ruum ehk sidus kaksikpunkt ehk Aleksandrovi kaksikpunkt ehk sidus kaheelemendiline ruum on lõplik topoloogiline ruum, mis koosneb kahest punktist nii, et üks ühest punktist koosnev alamhulk on lahtine ja mitte kinnine ning teine kinnine ja mitte lahtine. Sierpiński ruum on saanud nime Wacław Sierpiński järgi.

Sierpiński ruum on üks klassikaline topoloogilise ruumi näide.

Definitsioon ja põhiomadused

Sierpiński ruumi $\mathbb {S}$ kandja on $\{\bot ,\top \}$ ; selle lahtised hulgad on $\emptyset ,\{\top \}$ ja $\{\bot ,\top \}$ . Elementide alternatiivsed tähistused ja nimetused on näiteks $\bullet$ ("kinnine") ja $\circ$ ("lahtine") ning 0 ja 1.

Sierpiński ruumi kinnised hulgad on $\{\varnothing ,\{\bot \},\{\bot ,\top \}\}.$ Nii et üheelemendiline hulk $\{\bot \}$ on kinnine ja hulk $\{\top \}$ on lahtine ( $\varnothing =\{\,\}$ on tühihulk).

Sulund on ruumis S määratud nii: ${\overline {\{\bot \}}}=\{\bot \},\qquad {\overline {\{1\}}}=\{\bot ,\top \}.$

Lõplik topoloogiiline ruum on ka üheselt määratud oma spetsialisatsioonieeljärjestusega. Sierpiński ruumi puhul on see eeljärjestus tegelikult osaline järjestus ja on antud nii: $\bot \leq \bot ,\qquad \bot \leq \top ,\qquad \top \leq \top .$

Topoloogilised omadused

Sierpiński ruum $S$ on nii lõpliku seesoleva punkti topoloogia (seesoleva punktiga $\top$ ) kui ka lõpliku väljasoleva punkti topoloogia (väljasoleva punktiga $\bot$ ) erijuht. Sellepärast on ruumil $S$ palju ühiseid omadusi ühe või mõlemaga neist klassidest.

Sierpiński ruum on vähim mittediskreetse ja mittetriviaalse topoloogiaga ruum. Ta on (homöomorfismi täpsusega) ainus niisugune kaheelemendiline ruum.

Sierpiński ruum on Aleksandrovi ruum.

Eraldatavus

Punktid $\bot$ ja $\top$ on ruumis S topoloogiliselt eristatavad, sest hulk $\{\top \}$ on lahtine hulk, millesse kuulub ainult üks neist punktidest. Punktil $\top$ on ümbrus $\{\top \}$ , millesse ei kuulu punkt $\bot$ . Järelikult on S Kolmogorovi ruum ehk T₀-ruum.

Ent S ei ole T₁-ruum, sest punkt $\top$ ei moodusta kinnist hulka ja punktil $\bot$ ei ole ümbrusi peale kogu ruumi. Sellest järeldub, et S ei ole Hausdorffi ruum ega T_n-ruum ühegi $n\geq 1$ korral. Sierpiński ruum on mitte-Hausdorffi ruumi kõige lihtsam sisuline näide.

S ei ole regulaarne (ega täielikult regulaarne ruum), sest punkti $\top$ ja temaga mittelõikuva kinnist hulka $\{\bot \}$ ei saa ümbrustega eraldada. (Pealegi tähendaks regulaarsus koos tingimusega T₀, et tegu on Hausdorffi ruumiga.)

On tühi tõde, et S on normaalne ja täielikult normaalne, sest seal ei ole mittetühje eraldatud hulki.

S ei ole perfektselt normaalne, sest eraldatud kinnisi hulki $\varnothing$ ja $\{\bot \}$ ei saa pideva kujutusega täpselt eraldada. Tõepoolest, $\{\bot \}$ ei saa olla ühegi pideva kujutuse $S\to \mathbb {R}$ nullihulk, sest iga selline kujutus on konstantne.

Loenduvus ja kompaktsus

Nagu kõik lõplikud topoloogilised ruumid, on ka Sierpiński ruum kompaktne ja selles kehtib teine loenduvusaksioom. Sierpiński ruumis kehtib teine loenduvusaksioom. Ta on Lindelöfi ruum ja separaabel ruum.

Kompaktne alamhulk ${1}$ ruumis S ei ole kinnine, mis näitab, et kompaktsed alamhulgad T₀-ruumides ei pea olema kinnised.

Ruumi S igasse lahtisesse kattesse peab kuuluma ruumi S kandja, sest see on punkti 0 ainus lahtine ümbrus. Sellepärast leidub ruumi S igal lahtisel kattel lahtine alamkate, millesse kuulub ainult hulk, mille ainus element on ruumi S kandja. (See on ka Sierpiński ruumi kompaktsuse tõestus.)

Sellest järeldub, et S on täiesti normaalne.

Sidusus

Sierpiński ruum S on hüpersidus (sest igasse mittetühja lahtisesse hulka kuulub 1) ja supersidus (sest igasse mittetühja kinnisesse hulka kuulub 0).

S on järelikult sidus ja liinsidus.

Tee punktist 0 punkti 1 ruumis S on antud kujutusega: $f(0)=0$ ja $f(t)=1$ kõikide $t>0$ korral. Kujutus $f:I\to S$ on pidev, sest $f^{-1}(1)=(0,1]$ , mis on lahtine ruumis I.

Nagu kõik lõplikud topoloogilised ruumid, on S lokaalselt liinsidus.

Sierpiński ruum on kokkutõmbuv, nii et ruumi S fundamentaalrühm on triviaalne. Ka selle kõrgemad homotoopiarühmad on triviaalsed.

S ei ole kaarsidus.

Kazimierz Alster tõestas, et Sierpiński ruum on sidusate ruumide klassi universaalne kujutis.

Koonduvus

Iga jada ruumis S koondub punktiks 0, sest selle punkti ainus ümbrus on ruumi S kandja.

Jada ruumis S koondub punktiks 1 parajasti siis, kui jadas on ainult lõplik arv nulle (st jadas on lõpuks ainult ühed).

Punkt 1 on jada kuhjumispunkt parajasti siis, kui jadas on lõpmata palju ühtesid.

Näited:
- 1 ei ole jada $(0,0,0,0,\ldots )$ kuhjumispunkt.
- 1 on jada $(0,1,0,1,0,1,\ldots )$ kuhjumispunkt (kuid mitte piirväärtus).
Jada $(1,1,1,1,\ldots )$ koondub nii 0-ks kui ka 1-ks.

Metriseeruvus

Sierpiński ruum S ei ole metriseeruv ega isegi pseudometriseeruv, sest iga pseudomeetriline ruum on täielikult regulaarne, aga Sierpiński ruum ei ole isegi mitte regulaarne.

Ruumi S tekitab hemimeetrika (ehk pseudokvaasimeetrika), kus $d(0,1)=0$ ja $d(1,0)=1.$

Pidevad kujutused iseendasse ja homöomorfismide rühm

On ainult kolm pidevat kujutust Sierpiński ruumist S iseendasse: samasusteisendus ja konstantsed kujutused punktidesse 0 ja 1.

Järel1kult, et Sierpiński ruumi S homöomorfismide rühm on triviaalne.

Karakteristliku funktsiooni analoog

Kujutus $F$ topoloogilisest ruumist $X$ sidusasse kaksikpunkti on pidev siis ja ainult siis, kui punkti $\{\circ \}$ originaal $F^{-1}(\circ )$ on lahtine ruumis $X$ (ehk punkti $\{\bullet \}$ originaal $F^{-1}(\bullet )$ on kinnine ruumis $X$ ).

Kui $M$ on suvaline hulk ja $2:=\{0,1\}$ on kaheelemendiline hulk, siis vastab igale kujutusele $\chi _{A}\colon M\to 2$ alamhulk $A\subseteq M$ ja ümberpöördult.

Hulgaga $2$ analoogset osa etendab $\mathbb {S}$ pidevate kujutuste ja lahtiste alamhulkade puhul. Olgu $M$ suvaline topoloogiline ruum. Pideva kujutuse $\chi \colon M\to \mathbb {S}$ puhul kehtib pideva kujutuse definitsiooni järgi, et lahtiste hulkade originaalid on lahtised. $\chi ^{-1}(\{\bot ,\top \})=M$ ja $\chi ^{-1}(\emptyset )=\emptyset$ . Huvitava tulemuse annab $\chi ^{-1}(\{\top \})$ . See on nimelt ruumi $M$ lahtine alamhulk ja on pideva kujutusega $\chi$ üheselt määratud.

Sierpiński ruum on Kolmogorovi ruumide kategooria kogeneraator: kui $f,g\colon A\to B$ pidevad kujutused Kolmogorovi ruumist $A$ Kolmogorovi ruumi $B$ , kusjuures $f\neq g$ , siis eksisteerib pidev kujutus $d\colon B\to \mathbb {S}$ nii, et $df\neq dg$ . Tõepoolest, kui $x\in A$ korral $f(x)\neq g(x)$ , siis on vähemalt $f(x)$ lahtise ümbrusega $U$ punktist $g(x)$ eraldatud või ümberpöördult (sest $B$ on Kolmogorovi ruum). Siis on $\chi _{U}$ soovitud kujutus $d$ . Tegelikult on Kolmogorovi ruumide kategooria kogeneraatorid parajasti kõik Kolmogorovi ruumid, millel on alamruum, mis on homöomorfne ruumiga $\mathbb {S}$ ist.^[1]

Algebralises geomeetrias

Algebralises geomeetrias tekib Sierpiński ruum diskreetse absoluutväärtusega ringi $R$ , näiteks $\mathbb {Z} _{(p)}$ (täisarvude ringi lokaliseering algarvu $p$ tekitatud algideaalis) spektrina. Spektri $\operatorname {Spec} (R)$ üldpunkt, mis tuleb nullideaalist, vastab lahtisele punktile 1, spektri $\operatorname {Spec} (R)$ eripunkt, mis tuleb ainsast maksimaalsest ideaalist, vastab kinnisele punktile 0.

Aleksandrovi kuup

Aleksandrovi kuup – sidusa kaksikpunkti aste $F^{m}$ — on universaalne ruum eralduvusaksioomiga $T_{0}$ ruumidele (Kolmogorovi ruumidele) kaaluga $m$ , kus $m\geqslant \aleph _{0}$ , st mis tahes Kolmogorovi ruum kaaluga $m$ on homöomorfne ruumi $F^{m}$ alamruumiga^[2]^[3].

Rakendused

Sierpiński ruumil on rakendusi formaalses semantikas ja rekursiivsusteoorias.^[4] Ta on Scotti topoloogia lahtiste hulkade klassifitseeriv ruum.

Vaata ka

Viited

↑ Dieter Pumplün. Elemente der Kategorientheorie, Spektrum – Akademischer Verlag: Heidelberg u. a.1999, ISBN 3-86025-676-9, lk 80.
↑ Энгелькинг, Р. Общая топология, М.: Мир 1986, lk 138, teoreem 2.3.26.
↑ П. С. Александров. К теории топологических пространств. – ДАН СССР, 1936, kd 2, lk 51–54.
↑ Martín Escardó. Synthetic topology of data types and classical spaces, Elsevier 2004.

[1] Dieter Pumplün. Elemente der Kategorientheorie, Spektrum – Akademischer Verlag: Heidelberg u. a.1999, ISBN 3-86025-676-9, lk 80.

[2] Энгелькинг, Р. Общая топология, М.: Мир 1986, lk 138, teoreem 2.3.26.

[3] П. С. Александров. К теории топологических пространств. – ДАН СССР, 1936, kd 2, lk 51–54.

[4] Martín Escardó. Synthetic topology of data types and classical spaces, Elsevier 2004.

[1]

[2]

[3]

[4]