Separaabel ruum

Separaabel ruum on topoloogiline ruum, millel on loenduv tihe alamhulk; st eksisteerib selle ruumi elementide jada $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ nii, et selle ruumi igasse mittetühja lahtisesse alamhulka kuulub vähemalt üks selle jada element.

Nagu teisedki loenduvusaksioomid, on separaablus "suurusepiirang" mitte tingimata võimsuse mõttes (kuigi osutub, et Hausdorffi ruumi puhul see nii on), vaid peenemas topoloogilises mõttes. Iga pidev kujutus separaablil ruumil, mille kujutis on Hausdorffi ruumi alamhulk, on määratud oma väärtustega loenduval tihedal alamhulgal.

Teine loenduvusaksioom on üldiselt tugevam omadus kui separaablus, kuid metriseeruvate ruumide klassis on need omadused ekvivalentsed.

Esimesed näited

Iga topoloogiline ruum, mis on ise lõplik või loenduv hulk, on separaabel, sest kogu ruum on iseenda loenduv tihe alamhulk. Mitteloenduva separaabli ruumi tähtis näide on arvtelg, millel ratsionaalarvud moodustavad loenduva tiheda alamhulga. Sarnaselt on kõikide pikkusega $n$ ratsionaalarvude vektorite ${\boldsymbol {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {Q} ^{n}$ hulk kõikide pikkusega $n$ reaalarvude vektorite hulga $\mathbb {R} ^{n}$ loenduv tihe alamhulk; nii et iga $n$ korral on $n$-mõõtmeline eukleidiline ruum separaabel.

Mitteseparaabli ruumi lihtne näide on mitteloenduva võimsusega diskreetne ruum.

Allpool on veel näiteid.

Separaablus ja teine loenduvusaksioom

Mis tahes ruum, milles kehtib teine loenduvusaksioom, on separaabel: kui $\{U_{n}\}$ on loenduv baas, siis mis tahes valik $x_{n}\in U_{n}$ mittetühjast baasist $U_{n}$ annab loenduva tiheda alamhulga. Metriseeruv ruum on separaabel siis ja ainult siis, kui selles kehtib teine loenduvusaksioom, ja see on nii siis ja ainult siis, kui see on Lindelöfi ruum.

Teise loenduvusaksioomiga ruumi suvaline alamruum on teise loenduvusaksioomiga. Separaabli ruumi alamruumid ei pruugi olla separaablid (vaata allpool).

Separaabli ruumi mis tahes pidev kujutis on separaabel. Teise loenduvusaksioomiga ruumil ei pruugi isegi faktorruum olla teise loenduvusaksioomiga.