Philosophy of Mathematics: An Introduction

Allikas: Vikipeedia

"Philosophy of Mathematics: An Introduction" on David Bostocki filosoofiline raamat. See ilmus 2009. aastal Blackwell-Wiley väljaandel.

Kokkuvõte[muuda | muuda lähteteksti]

Peatükk 1: Platon ja Aristoteles[muuda | muuda lähteteksti]

A. Platon: 1. Sokraatiline taust[muuda | muuda lähteteksti]

Sokratesele avaldas muljet, et headuse, ilu ja vooruse ning konkreetsete vooruste mõisteid ei osata seletada. Sokrates näitas, et ükski pakutud vastustest ei saa olla tõene, ning jõudis järeldusele, et me ei tea, millest me räägime. Ta pidas end teistest targemaks ainult selle poolest, et ta teab, et ei tea (Sokratese apoloogia 21b–23b). Teised mõtlejad olid pakkunud oma lahendusi, sageli subjektivistlikke või isegi nihilistlikke. Väideti näiteks, et õiglus on seaduste järgimine ning on seetõttu eri riikides erinev. Et seadused on inimeste leiutis, siis ka õiglus on inimeste leiutis. Sama lugu on kogu moraaliga. Küünilisemate järgi pole seetõttu põhjust moraali tõsiselt võtta; kel jõud, sel õigus. (Kallikles Platoni "Gorgiases" (482c–486c), Thrasymachos Platoni "Riigis" (336b–339a), Antiphon, DK 44A). Sokrates ja Platon olid aga veendunud, et moraal peab olema kuidagi objektiivne, kokkulepetest sõltumatu. Aga miks siis on nii raske moraali küsimustes tõde või rahuldavat vaadet leida? Bostocki arvates lähtus Platon sellest, et asi on selles, et selles maailmas pole selgeid näiteid. Tavaliselt antakse sõna (näiteks "punane") tähendus näidetega, aga õige ja väära puhul see pole võimalik. See, mis ühes kontekstis on õige, võib olla teises kontekstis väär. Ja väidetavad näited tekitavad vaidlusi, mille lahendamiseks pole üldtunnustatud protseduure. Aga kuidas me siis nendest sõnadest aru saame ja kuidas arusaamist saab parandada? Bostock arvab, et see tekitaski Platonil huvi matemaatika vastu: ka matemaatikas pole selgeid tajutavaid näiteid näiteks arvude kohta, kuid ometi on matemaatiline teadmine võimalik.

2. Meenutusteooria[muuda | muuda lähteteksti]

Meno 80b–86d

"Menoni" esimeses pooles on jutt sellest, mis on voorus. Sokrates on mitu Menoni vastust tagasi lükanud ning Menon küsib, kuidas üldse vastust otsida ja õiget vastust ära tunda. Sokrates toob näite matemaatikast, et see lootust tooks. Ta väitis, et tõeline teadmine on "meenutus". Ta kutsus ühe Menoni orjapoisi, kes geomeetriat ei tundnud, ja küsis, kuidas leida antud ruudust poole suurema pindalaga ruutu. Pärast paari vale vastust lahendas Sokrates ülesande, lastes poisil küsimustele vastata. Poiss vastab igale küsimusele õigesti, nagu ta juba teaks. Järeldus on see, et poiss teadis iga vastust arutelus, ja küsimused ainult meenutasid talle seda. Platon muidugi liialdab, sest isegi kui poiss kõiki eeldusi juba teadis, pole alust arvata, et ta ilma Sokratese küsimusteta oleks osanud neist järelduse teha. Aga see polegi tähtis. Keegi pidi ju selle teoreemi esimesena avastama. Ja Platon ei ütle, et poiss ei võtnud teadmist jooniselt, mille Sokrates liiva sisse tegi. Tõepoolest, tõestust võib taibata ka ebatäpselt jooniselt, selle võib üle kanda ka kõigile teistele ruutudele ning me näeme, et see on paratamatu tõde, aga joonis ei saa seda näidata. Platon tahtis kindlasti öelda, et tõestuse õigsusest saadakse aru aprioorselt, "vaimusilmaga". Tõenäoliselt tahab ta ka öelda, et ka eeldusi teatakse aprioorselt. Sel juhul on kogu matemaatika aprioorne. (Tõsi küll, "Riigis" ta enam nii ei arvanud.) Ja kindlasti tahtis ta öelda, et see teadmine peab olema kaasasündinud. Sellest ta järeldab, et hing pidi eksisteerima enne sündi ning on surematu.

Phaidon 72e–77d

"Phaidon" räägib hinge surematusest. Üks argumentidest selle kasuks tuletab meelde "Menoni" meenutusteooriat, kuid esitab siis teistsuguse argumendi, nimelt mõistetest arusaamise kohta. Sama probleem on õigluse jms mõistetega. Me saame aru võrdsuse mõistest, kuid seda ei saa seletada selles maailmas tajutud näidetega, sest ühemõttelisi näiteid ei ole. Kõik võrdne on ka ebavõrdne, sellepärast nende mõistete erinevus näidetest ei ilmne. Nähtavasti tajuti ühemõttelisi näiteid teises maailmas, kust me mälestuse kaasa võtsime. Sama peaks käima kõigi mõistete kohta, mis on Platoni silmis problemaatilised. Platon ei selgita, mis puudus tajutavatel võrdsuse näidetel on. Ühe tõlgenduse järgi on näiteks tikkudel või kividel alati mingid tajutavad erinevused. Bostock ei pea seda tõenäoliseks, sest tikud võivad olla eristamatud, ja mikroskoopi erinevuste nägemiseks kasutada ei saanud. (Sellest, et kaks tikku on pikkuse poolest eristamatud, piisaks ju võrdsuse näiteks vähemalt pikkuse poolest.) Usutavamaks peab Bostock teist tõlgendust, mille järgi asjad on alati millegi poolest erinevad, vähemalt asukoha poolest. Puhta matemaatika objektidel aga asukohta pole. Näiteks kaks ühte on tõeliselt võrdsed. Ja üldse, matemaatika objektidel ei ole selles maailmas rahuldavaid näiteid. Näiteks aritmeetika räägib täiesti võrdsete jagamatute ühikute kogumitest, aga maailmas neid pole (Riik 525d–526a, Philebos 56de). Geomeetria räägib täiuslikest ruutudest, ringidest jne, mida piiravad paksuseta jooned, aga selle maailma asjad on parimal juhul nende jämedad lähendused (Riik 510d–511a). Nii et matemaatika käib metafoorselt teise maailma kohta. Nii et matemaatikast arusaamist saab seletada ainult juhul, kui postuleerida "kogemus teisest maailmast", mis selle teooria järgi leiab aset enne sündi. Bostock lisab, et meenutus teisest maailmast on enamasti ähmane. Sellepärast enamik inimesi ei oska öelda, mis on headus, õiglus või isegi võrdsus. Me saame neist mõistetest mingil määral aru, sest me oskame neid kasutada, kuid see pole täielik arusaamine, mis võimaldaks neid defineerida. Filosoofi ülesanne on meeltetajule selg pöörata ja endas peidus olev teadmine välja tuua; teisiti pole arusaamine võimalik. Matemaatika näitab, et see on võimalik. Sellepärast on ka eetikas lootust.

3. Platonism matemaatikas[muuda | muuda lähteteksti]

Platonism tänapäeva matemaatikafilosoofias väidab, et 1) matemaatika räägib reaalsetest objektidest, mis eksisteerivad (metafoorselt) teises maailmas (objektid ei ole meeltega tajutavad, vaid intelligiiblid), ja 2) teadmine nende kohta ei pärine tajust (on aprioorne teadmine). Esimest, ontoloogilist väidet peetakse teise, epistemoloogilise väite järelmiks, kuid ta ei järeldu sellest. Teist võidakse pidada esimese järelmiks, kuid ka siin pole järeldumist. Platonismi keskne probleem on see, kuidas neid kahte väidet omavahel lepitada. Kui objektid on teises maailmas, kuidas me siis nende kohta nii palju teame ja saame üha rohkem teada. "Aprioorne teadmine" on sellise teadmise nimi, mitte seletus. Platon pakub seletuseks meenutuse. See teooria pole kunagi olnud veenev, nii sellepärast, et see võtab kahte maailma sõna-sõnalt, kui ka sellepärast, et meil pole mingit ettekujutust sellest, mis tunne on teises maailmas olevat matemaatilist objekti kogeda. Teised filosoofid pole seda teooriat toetanud, kugi näiteks René Descartesi kaasasündinud ideede teooria on sarnane. Ka Platon ise ütles nähtavasti sellest lahti, vähemalt ei maini ta seda "Riigis" ega "Theaitetoses", ja ka Aristoteles ei maini seda. Teistsugust seletust matemaatilise teadmise võimalikkuse kohta Platon ei andnud.

4. Tagasivõtmised: jagatud joon "Riigi" VI peatükis (509d–511e)[muuda | muuda lähteteksti]

Platoni vaated matemaatika loomuse kohta muutusid. "Riigi" VI raamatus läheb jutt ideedeõpetusele. Sellest oli esimest korda juttu "Phaidonis": sünnieelses elus me kohtasime ideid, millest meil on ähmane mälestus. Ideed on ühest küljest omadused, mis on ühised paljudele tajutavatele asjadele, mille kohta öeldakse, et nad osalevad nendes (või saavad nendest osa); teisest küljest on ideed nende omaduste täiuslikud näidised, mida tajutavad asjad ebatäiuslikult meenutavad. Näiteks ilu idees osalevad kõik ilusad asjad, ja ise on ta ülimalt ilus ja kõik teised ilusad asjad jäljendavad teda, on aga vähem ilusad. Nüüd vastandatakse nähtavaid ja intelligiibleid asju, ning esimesed on viimaste kujutised või jäljendused. Aga samasugune suhe on ka kummaski vallas, näiteks mõned nähtavad asjad on teiste kujutised (varjud või peegeldused). Seda kujutab joon, mis on jagatud kaheks ebavõrdseks osaks, ja kumbki osa on jagatud samas proportsioonis:

Nähtav - Intelligiibel = (A - B) - (C - D) = (Kujutised - Originaalid) - (Matemaatika - Dialektika) = (Kujutised - Originaalid)

A : B = C : D = (A + B) : (C : D). A + B ja C + D kujutavad vastavalt nähtavaid ja intelligiibleid objekte. Tundub, et A ja B kujutavad mõlemad objekte (varje ja peegeldusi ning materiaalseid objekte, mis neid põhjustavad). Aga tundub, et C ja D puhul on vastandatud hoopis uurimismeetodid (matemaatika meetod ja dialektika). Esimene tõlgendus eeldab, et Platon peab kogu aeg silmas objekte, nii et C ja D eristuse taga tuleb otsida objektide erinevust. Teine tõlgendus eeldab, et Platon peab kogu aeg silmas meetodeid, nii et A ja B eristuse taga tuleb otsida meetodite erinevust.

Esimese tõlgenduse parim versioon tundub olevat see, mis toetub Aristotelesele (näiteks Anders Wedberg, Plato's Philosophy of Mathematics; Miles Burnyeat, "Plato on Why Mathematics is Good for the Soul"). Aristoteles ütleb, et Aristoteles eristas päris ideid ja matemaatika objekte. Mõlemad on intelligiiblid, aga vahe on selles, et päris idee on ainult üks (näiteks ringikujulisuse idee), aga matemaatikas on tarvis igast ideest palju täiuslikke näiteid (näiteks mitut täiuslikku ringi). Matemaatika objektid on seega päris ideede ja meeltega tajutavate asjade vahepealsed (Aristoteles, Metafüüsika 1, 987b14–18). Siis on mõistlik eeldada, et C kujutab vahepealseid objekte ja D päris vorme. Pole aga selge, kas Platonile saab siin selle vaate omistada: Bostocki arvates pole tõenäoline, et Platon oli "Riigi" kirjutamise ajal selleni jõudnud, sest "Riigis" pole sellele ühtki vihjet. Ta räägib näiteks "ruudust endast" ainsuses. Ja 597c–d on selles asjas segadus, millest Platon tõenäoliselt hiljem aru sai, sest dialoogis "Parmenides" teeb ta sellest vastuvõetamatuid järeldusi, näiteks "kolmas inimene" (132a). Sellepärast Bostock on esimese tõlgenduse suhtes skeptiline.

Teine tõlgendus on järgmine. A. Tavaliste nähtavate objektide uurimine varjude, peegelduste jt kujutiste kaudu. B. Nende otsene uurimine tavalisel moel. C. Intelligiiblite ideede kaudne uurimine nähtavate kujutiste (näiteks geomeetriliste jooniste) abil. See on matemaatika meetod. D. Nende otsene uurimine ainult puhta mõistuse abil. See on dialektika (filosoofia) meetod. Siin ei ole tarvis eeldada, et Platon tahab matemaatika ja dialektika objekte ontoloogiliselt eristada. Jääb võimalus, et dialektika meetodit saab rakendada ka matemaatilistele ideedele ja ümberpöördult. On ka vihjeid, et Platon nii mõtlebki. Matemaatilist meetodit iseloomustab ta nähtavate jooniste kasutamisega kõigile ilmsetest, õigustamist mittevajavatest "hüpoteesidest" dedutseerimisega. Ta ütleb ka, et üks neist tunnustest tingib teise. Paistab, et ta ütleb 510b, et nähtavate kujundite kasutamine nõuab hüpoteese, ja paistab, et 511a ütleb ta ümberpöördut. Seda, et viimane on Platoni seisukoht, peab Bostock tõenäolisemaks. Seda selgitatakse tavaliselt nii, et neid "hüpoteese" peetaksegi sellepärast ilmseteks, et nende ilmsus tundub nähtavatelt joonistelt ilmne olevat (vihjeks peetakse kohta 511a). Pole selgelt öeldud, milles need hüpoteesid seisnevad (510c on vihje), kuid on ilmne, et need on tõestuste eeldused ning Platon on taibanud, et sellised eeldused peavad olema. Pole selge, mis seisus matemaatika Platoni ajal oli, nii et ei saa öelda, milliseid hüpoteese Platon silmas pidas. Bostock peab võimalikuks, et Platon pidas silmas peamiselt või ainult definitsioone (võib-olla sellepärast mainitaksegi ainult mõisteid). Igatahes on Platon taibanud, et tõestustel peavad olema lähtekohad, mida matemaatikas endas ei õigustata. Sellepärast ei saa öelda, et lähtekohti ranges mõttes teatakse, nii et ei teata ka seda, mis on nendest dedutseeritud. "Menonis" peeti matemaatikat kindlasti teadmiseks, "Riigis" aga enam mitte. Kohas 511d vihjatakse, et matemaatika hüpoteesidele võiks rakendada dialektilist meetodit, ja siis need pole pelgad hüpoteesid ja matemaatikast võib saada tõeline teadmine. Teistpidi, midagi matemaatika meetodi sarnast (hüpoteeside aktsepteerimist ilma õigustuseta) saab rakendada paljudes valdkondades, sealhulgas moraaliideede loomuse uurimisel. "Menon" 86e–87c püüabki seda teha vooruse uurimisel (kuigi see ei õnnestu: "Menon" 86e–99c) ja "Riik" 437a viitab õigluse uurimisel õigustamata "hüpoteesile". Matemaatika algab Platonil hüpoteeside eeldamisest ja liigub deduktsiooni abil "allapoole", dialektika (filosoofia) aga liigub algsetelt hüpoteesidelt "ülespoole", otsides nende aluseid (kui need on tõesed, kuni on näidatud, et need järelduvad "mittehüpoteetilisest algprintsiibist". Pole lihtne öelda, kuidas dialektiline meetod töötab (Richard Robinson, Plato's Earlier Dialectic; Bostock, Plato's Phaedo, ptk 8.).

"Riigis" näeb Platon filosoofikandidaadile ette pika ja vaevalise matemaatilise koolituse, sest matemaatika oöörab vaimusilma materiaalsetelt asjadelt "kõrgemale". Võib ka olla, et ta leidis, et filosoofi "teekond ülespoole" algab matemaatika hüpoteesidest. (VII raamatus on juttu viiest matemaatika vallast, mida kõiki tuleb uurida, et taibata nende sugulust (531d). Võib-olla on asi selles, et taibata, et eri valdkondade alghüpoteesid on ühe üldisema tõe juhtumid.)

B. Aristoteles. 5. Üldine positsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Aristoteles lükkab Platoni teooria matemaatika loomusest tagasi (Metafüüsika 13.3; Füüsika II.2, 193b22–194a12; De anima III.7, 43lb12–17; Metafüüsika 11.3, 1061a28–b4.) Platon eksis, kui ta lahutas teadmise objektid tavalistest selle maailma objektidest. Selles oli tal küll õigus, et on olemas ideed (vormid), ning teadmine käib nende kohta, kuid need ei eksisteeri eraldi oma näidetest selle maailmaga. Näiteks inimese idee (vorm) on ainult tegelikes inimestes. Ei ole kahte maailma, vaid ainult üks maailm, ja matemaatika käib selle maailma kohta. Kui räägitakse näiteks ringi omadustest, siis on väga üldises ja abstraktses keeles jutt kõigi tavaliste ringikujuliste objektide ühistest omadustest, mis neil on ringikujulisuse tõttu. Geomeetrias ei mõelda kujundeid asjadena, millel oleks temperatuur või mõni muu füüsiline omadus. See tuleb sellest, et jutt on ainult geomeetrilistest omadustest. Teisi omadusi ignoreeritakse, sest need ei puutu asjasse. Nähtavasti on Aristotelese järgi ka aritmeetika puhul nii. Kuigi tundub, et me tegeleme arvudega kui eriliste objektidega, millel pole ühtegi sellist omadust nagu tavalistel meeltega tajutavatel objektidel, tegeldakse tegelikult üldisel ja abstraktsel moel "kehastunud arvudega", näiteks lehmade arvuga karjamaal. (Bostock, "Aristotle's Philosophy of Mathematics", The Oxford Handbook on Aristotle.) Võrreldes Platoniga tundub see nagu sõõm värsket õhku. Meie teadmine sellistest tõdedest on tavaline empiiriline teadmine, mis põhineb tajul suuresti samamoodi nagu muugi teaduslik teadmine. Kui juba erilisi objekte pole, siis pole ka tarvis erilist aprioorse teadmise võimet.

Kuigi palju argumente Aristoteles ei esita. Ta esitab küll sageli vastuväiteid ideedeõpetusele üldiselt, aga see pole piisav, sest Platon hakkas matemaatika objekte eristama ideedest enestest. Kui ka ideid Platoni moodi ei ole, võivad eraldi matemaatilised objektid sellegipoolest olla, sest need on lihtsalt täiuslikud näited. Ja võib-olla matemaatika ikkagi vajab täiuslikke näiteid, mis on olemas lahus selle maailma ebatäiuslikest näidetest. Sellest räägib Aristoteles ainult "Metafüüsika" 13. raamatu 2. peatükis, ja tema argumendid ei ole veenvad. Kohtades 1076b11–39 ja 1076b39–1077al4 esitab Aristoteles kaks põhilist argumenti selle kasuks, et kui me peame eeldama nende vahepealsete objektide olemasolu, siis me peame ka eeldama paljude teiste vahepealsete objektide olemasolu, see aga tähendaks uskumatut ja tarbetut entiteetide kahekordistamist. Aga ta ei ütle, miks Platonil neid vahepealseid objekte tarvis oli, ega esita vastuväiteid tema põhjenditele. Tavaliselt seletatakse asja nii, et Platon lähtus sellest, et matemaatika räägib täiuslikest näidetest, ning järeldas matemaatika tõesusest, et täiuslikud näited peavad olemas olema. Ent meeltega tajutavad näited ei ole täiuslikud, järelikult peavad kuskil olema mittetajutavad näited, mis on kättesaadavad ainult arule, mitte tajule. Oletame, et see ongi Platoni argument. Sel juhul on Aristotelese vastuargumentide põhiline nõrkus see, et need ei ütle, mis Platoni argumentidel viga on. Bostock otsib nüüd, mida saaks Aristotelese eest öelda.

6. Idealisatsioonid[muuda | muuda lähteteksti]

Pole kindel, kas Aristoteles nõustus Platoni eeldusega, et selles maailmas ei saa olla täiuslikke näiteid. ("Metafüüsika" 2. raamatus 997b35–998a6 ta ütleb, et meeltega tajutavad jooned ei ole kunagi täiuslikult sirged ega täiuslikult ringikujulised, kuid seal pole alust arvata, et ta ise seda väidet toetab. Raamatus De anima I.1 403a12–16 ta paistab väitvat, et materiaalne sirge äär puutubki materiaalset kerapinda täpselt ühes punktis, kuid Bostock on umbusklik selle autentsuse suhtes, sest jääb arusaamatuks, milleks seda seal öelda (Bostock, "Aristotle's Philosophy of Mathematics", The Oxford Handbook on Aristotle.). Ta oleks pidanud selle eeldusega geomeetria puhul nõustuma, geomeetria puhul mitte.

Aritmeetika

Gottlob Frege õpetuse valguses on selge, et Platon eksis, arvates, et aritmeetika toob sisse idealisatsioone. Eksitus tuleb eeldusest, et kui arve meeltega tajutavatele objektidele rakendatakse, siis öeldakse, et objektil endal on mingi arv. Frege järgi aga väidab "arvuväide" midagi mõiste kohta, mitte objekti kohta: ütleb, mitu objekti selle mõiste alla käib. (Alternatiivse vaate järgi käivad arvud füüsiliste objektide hulkade kohta ning ütlevad, mitu elementi hulgas on.) Enamasti saab seda täiesti üheselt öelda ja sellises arvu rakenduses pole midagi "ebatäiuslikku". Võib öelda, et "ühikuteks" on lehmad karjamaal, ilma et lehm peaks olema jagamatu ja lehmad peaksid omavahel võrdsed olema. Ja loendada saab ka mõne teise mõiste ja ühikuga, näiteks lehmade paar või lehmakilo. Aristoteles sai sellest aru. Ta võrdleb loendamist sageli mõõtmisega: mõlemal juhul valitakse miski ühikuks ja käsitletakse seda jagamatuna. (Metafüüsika 14.2, 1088a8–9; 1016b17–24; 1052bl5–17, 1053a24–30, 1054a4–9, 1082bl6–19, 1087b33-1088a14, 1052b31–1053a2, 1092bl9–20, 220a19–22.) Ent ta ei esita seda kunagi Platoni kriitikana. Ta esitab küll vastuväited Platoni järeldusele ning näitab raskusi seisukohas, et arv on eraldi olevate täiuslike ühikute paljus ([[Metafüüsika 13:6–8), kuid ei küsi, mis Platoni eksiteele viis. Ja pole selge, mida täpselt ta asemele pakub.

Geomeetria

Geomeetria idealiseerib, kuid see, mida ta täiuslike ringjoonte kohta ütleb, võib kehtida ka ebatäiuslike ringjoonte kohta, sest seda võib mõista hüpoteetliselt: kui täiuslikud ringjooned on olemas, siis nad näiteks saavad täiuslikku sirgjoont puutuda ainult ühes punktis. Võidakse küsida, kuidas geomeetria saab praktikas nii kasulik olla, kui entiteete, millest ta räägib, pole olemas, aga see küsimus tekib ka platonistil ja igatahes on sellel lihtne vastus. Paljud teooriad idealiseerivad. Näiteks ideaalne gaas järgiks täpselt Boyle'i-Mariotte'i seadust ning see teooria aitab reaalsetest gaasidest aru saada, sest ta ideaalne teooria lihtsustab olukorda, ignoreerides teatud omadusi, millest palju ei olene (ideaalse gaasi teooria ignoreerib molekulide mõõtmeid ning nendevahelisi tõmbe- ja tõukejõude.) Ometi oleks absurdne eeldada, et ideaalsed gaasid kuskil olemas on. Umbes sama lugu on geomeetria idealisatsioonidega. Puusepp teeb laua, mis on täiuslikule ruudule nii lähedal, et ta saab kasutada geomeetriat. Nii et geomeetriat võib võtta meeltega tajutavate asjade ruumiliste omaduste uurimisena. Ta küll idealiseerib neid mingil ääral, kuid see ei anna alust öelda, et ta ei uurigi tajutavaid objekte, vaid mittetajutavaid ideaalseid objekte. Kõik see aga sõltub eeldusest, et geomeetriat võib mõista hüpoteetiliselt. Siis ligikaudsetel ruutudel ja ringjoontel on ideaalsete kujundite omadused ligikaudselt. Aga kas mitte geomeetria ei väida, et täiuslikud ringjooned on olemas?

7. Keerukused[muuda | muuda lähteteksti]

Kohas 1078a2–5 ütleb Aristoteles, et matemaatika ei ole tajutava uurimine, isegi kui uuritav on juhtumisi tajutav. Kohas 1078a17–25 ütleb ta, et matemaatika postuleerib midagi lahus olevana, kuigi see ei ole lahus. Ta lisab, et sellest ei tulene väärus, nähtavasti sellepärast, et matemaatik ei võta lahusolemist eelduseks. Kohas 193b31–5 ütleb ta, et kuna matemaatik ei tegele omadustega, mis on tema uurimise seisukohast aktsidentaalsed, siis ta lahutab need, sest mõttes saab need lahutada; ja sellest ei tulene väärus. Selline fiktsionaalne lahutamine on matemaatikas ja mujal just abiks (1078a21–31). Ta ei ütle, mis laadi asjana lahutatud matemaatilist objekti mõeldakse. Bostock arvab, et küllap oma lahutatud maaimas intelligiiblina. Tõenäoliselt möönab Aristoteles, et tajutavad objektid pole geomeetriliste omaduste täiuslikud näited, ja küllap siis vaimne lahutatus silub ebatäiuslikkuse. (Bostock arvab, et lahutatud kujundit mõeldakse ka intelligiiblist mateeriast koosnevana (1036a1–12, 1036b32–1037a5; 1045a33–36). Sellepärast saab mõelda mitmest täiesti ühesugusest kujundist: igaühel on erinev intellektuaalne mateeria.) Aristoteles mõtleb peamiselt geomeetria peale, kuid eeldab ilmselt, et midagi sarnast kehtib ka aritmeetika puhul: matemaatik mõtleb arve lahutatud entiteetidena, kuigi see on fiktsioon. Ja küllap siis ka arve mõeldakse idealiseeritutena, küllap täiuslikult võrdsetest ja jagamatutest ühikutest koosnevatena. Aristoteles põhjendab, miks arvud ei saa sellised olla, ent võib-olla ta möönab, et matemaatikud võtavad neid nii.

Aristoteles ütleb, et matemaatika objektid ei eksisteeri tegelikkuses, vaid võimalikkuses ("mateeria moodi", 1078a28–31). Nähtavasti ta peab silmas, et lahus eksisteerivatena mõeldavad objektid saavad eksisteerda tegelikult, st tegelike füüsiliste objektidena. Mõned väga keerulised kujundid, näiteks korrapärane ikosaeeder, tegelikkuses ei eksisteeri, võimalikkuses aga küll. Sama lugu on väga suurte arvudega. Keerulisemaks teeb asja ka see, et matemaatilisest objektist mõtlemine teeb selle tegelikuks. Igatahes ütleb Aristoteles 1051 a21–23, et geomeetrid kasutavad tõestustes uute joonte konstrueerimist ning see on võimaliku tegelikuks tegemine. Nähtavasti just mõttes konstrueerimine loebki, sest ta ütleb seletuseks, et mõtlemine on tegelikkus. Ta möönab, et matemaatilisi objekte on (võimalikkuses) palju rohkem kui need, mis on tegelikult olemas ja mida tegelikult mõeldakse.

Aristotelese järgi uurib matemaatika tavaliste tajutavate objektide teatud omadusi väga üldiselt, pööramata tähelepanu nende mittematemaatilistele omadustele. Seetõttu on mugav fiktsioon eeldada, et ta tegeleb mingite eriliste objektidega, millel on ainult matemaatilised omadused. Ei tee kahju kujutleda, et need on olemas, ning ka välja siluda füüsiliste objektide geomeetrilised ebakorrapärad ning lisada geomeetrilisi ja aritmeetilisi omadusi, mida füüsilistel objektidel ei pruugi olla. Asi on selles, et nendel objektidel on vähemalt võimalik (potentsiaalne) olemasolu. Matemaatika aluseks jäävad ikkagi füüsilised kehad, millest arusaamine peab algama. Mitu küsimust jääb siin vastamata ning võib ainult oletada, mida Aristoteles vastaks. Näiteks arvab Bostock, et "7 + 5 = 12" ei käi Aristotelesel "arvude eneste" kohta, vaid üldistab selliseid asju: kui ühel karjamaal on 7 lehma ja teisel 5, siis mõlemal karjamaal kokku on neid 12. Bostock arvab, et Aristotelese järgi saadakse teada, et 7 + 5 = 12, lehmade loendamise jms abil. Aristoteles ei vasta Platoni väitele, et teadmine peab olema aprioorne, vaid piirdub üldiste ütlustega. "Teise analüütika viimases peatükis (II.19) ta väidab, et igasugune teadmine pärineb kogemusest. Tajutakse üksikuid asju (partikulaar), kuid mälu võimaldab mitut üksikut juhtumit meeles hoida, ja see annab arusaamise universaalidest. Niiviisi haaratakse induktsiooni teel mis tahes teaduse algprintsiibid. "Metafüüsika" I raamatu I peatükist (981 a1–3, b20–25) selgub, et see käib ka matemaatika kohta. Aristoteles ei seleta, kuidas me aru saame, et need algprintsiibid on paratamatud tõed. Mujal ütleb Aristoteles, et algprintsiipide leidmiseks kasutatakse ka "dialektikat", kuid üksikasjad ei selgu. Igatahes on matemaatika teadmine (nagu igasugune teadmine) Aristotelese järgi empiiriline. (Kas ka loogika teadmine on empiiriline?)

Kuidas saab olla, et matemaatikas kasutatakse lõpmatuse mõistet? Kuidas see on võimalik, kui matemaatika põhineb tajul? Lõpmatust ju ei tajuta.

8. Probleemid lõpmatusega[muuda | muuda lähteteksti]

Lõpmatusest räägib Aristoteles "Füüsika" III raamatu 4.–8. peatükis. Ta ütleb, et ei ole ega saa olla lõpmata suurt keha. Asi on selles, et maailm on lõplik kera, mis ei saa paisuda ega kokku tõmbuda, nii et maailma mõõtmeid ei saa ületada. Väljaspool maailma ei ole isegi mitte tühja ruumi. Järelikult peab ta eitama Eukleidese "Elementide" 2. postulaati, et iga sirgjoont saab mõlemas suunas pikendada. Siis ta ei saa ka aktsepteerida Eukleidese definitsiooni, et paralleelsed sirgjooned on need, mis ei lõiku, ükskõik kui kaugele neid pikendatakse. Aga paralleelsust saab ka teisiti defineerida, ja Eukleidese geomeetriat saab rakendada ka lõplikule ruumile: matemaatikud ei vaja lõpmatut pikkust ega ka luba lõplikku pikkust alati pikendada. Tõestamisel saab alati kasutada väiksemat sarnast kujundit ning tõestatu üle kanda suuremale sarnasele kujundile. Aristoteles nimetab kolm põhjendust, miks lõpmatus peab olemas olema: muidu on ajal algus ja lõpp, muidu ei ole suurused lõputult suurusteks jagatavad ja muidu arve ei ole lõputult (206a9–12). Mingis mõttes (kuigi mitte absoluutselt) peab saama öelda, et need asjad on lõpmatud. Aristoteles ütleb sageli, et lõpmatus on alati potentsiaalne (võimalik), nii et siis nähtavasti mitte kunagi aktuaalne (tegelik). Ta ei väljendu päris täpselt: õigupoolest peab ta silmas, et lõpmatu tervik saab eksisteerida ainult lõpmatu protsessi tulemusena, aga lõpmatu protsess ei jõua tulemuseni. Lõpetamata lõpmatu protsess saab olla, selle tulemust aga mitte. Enamik protsesse lõpeb, kuigi need on potentsiaalsed lõpmatud, sest nad saaksid alati jätkuda. Mõned protsessid ei lõpe kunagi (näiteks päeva järgnemine päevale), ja need on tegelikult lõpmatud protsessid. Aristoteles rakendab seda seisukohta lõpliku joone lõputule osadeks jagatavusele. Osasid, milleks joont jagatakse, ja punkte, mis neid jagavad, ei ole tegelikult olemas enne tegelikku jagamist. Tõepoolest, kui need oleksid olemas, siis tuleks lõpliku vahemaa läbimiseks läbi teha lõputu jada väiksemaid liikumisi (igaüks eelmisest poole väiksem), mis on Aristotelese meelest võimatu. Kui lihtsalt pidevalt liikuda teatud vahemaa, siis ei tehta tegelikuks (aktuaalseks) ühtki punkti sellel. Selleks tuleks mõnes punktis peatuda, märk maha panna või läbitavat punkti loendada. Bostock arvab, et selleks et punkti tegelikuks teha, tuleb Aristotelese järgi teha midagi, mis selle ümbritsevatest punktidest välja eraldab, ja lõpliku ajaga pole võimalik teha lõpmata palju selliseid tegusid (seda viimast Bostock ("Aristotle, Zeno, and the Potential Infinite") eitab.). Järelikult ei sisalda lõplik joon kunagi lõpmata palju tegelikke punkte, kuigi ta on potentsiaalselt lõputult jagatav. Kreeka geomeetrias olid punktid, sirged, tasandid ja kehad kõik fundamentaalsed. Kõige fundamentaalsem oli keha (sest tasand on keha piir, sirge tasandi piir ja punkt sirge piir), kõige vähem fundamentaalne punkt, ning sirgete jne konstrueerimiseks pole tarvis lõpmata palju punkte. ("Füüsika" VI raamatus püüab Aristoteles näidata, et paljastest punktidest joont konstrueerida ei saa.) Aga kas siis geomeetria postulaadid ei eelda, et punktid, jooned jne on ka siis, kui need pole välja eraldatud. See pole ilmne, vähemalt Eukleides ei nõua seda. Jutt on ainult sellest, et näiteks ühest punktist teise on võimalik tõmmata sirglõik, mitte ei ütle, et see on juba olemas. Kreeka matemaatika on "konstruktiivne", ta ei eelda, et on olemas kujund, mida ei saa joonlaua ja sirkliga konstrueerida. (Platon (527a–b) aga leiab, et jooni ei pea tõmbama, et nad olemas oleksid.) Tundub, et Aristotelesel on õigus eeldada, et konstrueeritud objekti ei ole, enne kui see on kirjeldatud. Siis ei ole kunagi lõpmata palju kujundeid.

Aga vaevalt võib kreeka aritmeetikat pidada konstruktiivseks, ja siin on suurem raskus. Arve on lõpmata palju, sest arvud ei lõpe mõttes otsa (203b22–25); füüsiliselt need Aristotelese järgi lõpevad siiski otsa, sest maailm on lõplike mõõtmetega ja füüsilisi esemeid ei saa tegelikult lõpmatuseni jagada. Ka arvude mõtlemine ei aita, sest lõpmata palju arve ei jõua mõelda. Platonisti järgi on kõik arvud tegelikult olemas lahus tajutavatest asjadest. Aristoteles eeldab, et sel juhul peab olema kõigi arvude arv, mis on lõpmatu arv; aga see on võimatu, sest 1) muidu saaks lõpmatuseni loendada (207b7–10) ja 2) iga arv peab olema paaris või paaritu, aga lõpmatu arv pole kumbki (1083b37–1084a4). Aga tundub, et samad vastuväited kehtivad ka Aristotelese arvukontseptsiooni puhul: ka füüsiliste esemete kogumites olemasolevaid arve ei saa olla lõpmata palju. Järelikult on arve ainult potentsiaalselt lõpmata palju. Aga selle järeldusega ei saa rahul olla. Naeruväärne on öelda, et praegu on nii-ja-niipalju arve. Kas Aristoteles saaks seda kriitikat vältida? Bostock pakub, et saaks, kui ta räägiks siin idealiseerimisest, nagu ta peaks tegema geomeetria puhul: aritmeetika "idealiseerib", eeldades, et igal arvul on reaalselt järgmine arv. Nii ta silub välja meie maailma ebatäiuslikkuse. Võib loota näidata, et sellise idealiseeritud teooriata läbi ei saa.

Üks raskemaid probleeme empiirilise matemaatikateooriaga on see, kuidas seletada lõpmatust. Ja kui vastust ei ole, kas siis tuleb platonismi juurde tagasi minna?

C. Ettevaated[muuda | muuda lähteteksti]

Hilisemad platonistid on öelnud, et matemaatika räägib platonistlikult tõlgendatud universaalidest, et omadustest, suhetest, funktsioonidest jne. Tänapäeval levinud versiooni järgi räägib see hulkadest (puhastest hulkadest, mille koosseisu ei mahu tajutavaid hulki. Peale meenutusteooria on ka teisi aprioorse teadmise teooriaid. Platon nägi seda raskust, et matemaatilised tõestused alustavad aksioomidest. Platonistid on väga erinevalt selenud, kust me teame, et aksioomid on tõesed. Aristoteles lähtub sellest, et erilisi objekte pole tarvidust postuleerida, ja ütleb, et seda ei tuleks teha. Et veenvalt näidata, et saab läbi tavaliste objektidega, tuleb öelda, kuidas matemaatika propositsioone tõlgendada propositsioonidena tavaliste objektide kohta, ja seda Aristoteles ette ei võta. Bostock arvab, et ta pidas seda geomeetria puhul ilmseks ning eeldas ilma pikemata, et aritmeetikas on asi sarnane. Hiljem on raskuspunkt nihkunud aritmeetikale. Kuidas Aristotelese raamistikus seletada näilist osutamist arvudele? Esimese kõneväärse katse vastata tegi Bertrand Russell, ja see katse näitas, et probleem ei ole lihtne. Matemaatika epistemoloogias oli Aristotelese põhiidee, et matemaatika meetod põhimõtteliselt ei erine loodusteaduse meetodist. Selline teadmine on empiiriline, ja pole selge, mis õigustab selle nimetamist teaduseks ja kuidas täpselt selleni jõutakse. Siin on kaks külge: vaadeldavateks peetavate sündmuste vaatlemine ning nende vaatluste seletamiseks ja ennustamiseks teooriate loomine. Aristoteles pole viimase kohta head käsitlust ning hiljem on sellele rohkem tähelepanu pööratud. Aristotelese empiiriline lähenemine on seniajani käibel. Nii Platoni ontoloogia ja epistemoloogia omavahel kui ka Aristotelese ontoloogia ja epistemoloogia omavahel käivad hästi kokku: kui matemaatika objektid on tavalised, siis on loomulik eeldada; et teadmise allikaks on taju; kui matemaatika objektid on erilised, intelligiiblid, siis on loomulik eeldada, et allikaks on erilist laadi mõtlemine. Aga need seosed pole vältimatud. Näiteks Russelli lähenemini ühitab Aristotelese ontoloogiat Platoni epistemoloogiaga. Russell tõlgendab matemaatilisi väiteid üldistustena tavaliste objektide kohta, aga ta ei pea neid tavalisteks empiirilisteks üldistusteks, vaid aprioorseteks loogikatõdedeks. On ka võimalik ühitada väidet, et igasugune teadmine on empiiriline, väitega, et matemaatika räägib abstraktsetest objektidest: selliseid objekte eeldavad meie loodusteaduslikud teooriad, ja ilma selle eelduseta ei ole füüsikanähtuste tavalised seletused võimalikud (Willard Van Orman Quine'i ja Hilary Putnami hädavajalikkusargument). Peale Platoni ja Aristotelese lähenemise on matemaatikafilosoofias veel idee, et matemaatika objektid on olemas ainult vaimus.

Peatükk 2: Aristotelesest Kantini[muuda | muuda lähteteksti]

1. Keskaeg[muuda | muuda lähteteksti]

Pärast Aristotelest kuni René Descartesini pöörati matemaatika loomusele vähe tähelepanu. Matemaatika tõdesid peeti igavesteks, muutumatuteks, paratamatuteks, kuid väga vähesed küsisid, kust me neid teame ja mis on matemaatika objektide ontoloogiline staatus.

See-eest küsiti universaalide ontoloogiline staatuse kohta üldiselt. Porphyrios küsis, kas universaalid on olemas; kui jah, kas väljaspool vaimu või vaimuentiteetidena; kui väljaspool vaimu, kas kehaliste või kehatutena; kas nad on meeltega tajutavates asjades või neist lahus. Realistide järgi on universaalid väljaspool inimese vaimu inimese mõtlemisest sõltumatult. Platon ja Aristoteles olid realistid. Matemaatikafilosoofias olid Gottlob Frege ja Kurt Gödel Platoni tüüpi realistid, John Stuart Mill oli Aristotelese tüüpi realist. Viimaste hulgas on ka Penelope Maddy raamatus Realism in Mathematics ja Philip Kitcher ("Arithmetic for the Millian", The Nature of Mathematical Knowledge). Kontseptualisti järgi on universaalid üksnes vaimus, vaim loobki neid, võib-olla reaktsioonina tajumustele, võib-olla tajumustest sõltumatult. Kõikide universaalide kontseptualistid tavaliselt nõustuvad, et üldideed on tajumuste tulemus, aga matemaatika puhul seda sagel eitatakse. Uuema aja matemaatikakontseptualistid, näiteks intuitsionistid, kalduvad ütlema, et me ise loome arvud, toetumata tajule. Nominalistid ütlevad, et universaale üldse pole. Keskajal oli sel vähe pooldajad, viimasel ajal on arvudenominaliste rohkem. "Reduktiivsed nominalistid" ütlevad, et sõnad, mis näiliselt universaalide kohta käivad, on tegelikult kasutusel lühendina keerulistest väljenditest, mis saavad läbi ilma sellise osutamiseta. Bertrand Russell pooldas sellist väidet arvude kohta. Teine nominalismi variant on veateooria, mille järgi näiliselt universaalile osutavad laused on mittetõesed, sest selliseid asju ei ole olemas. Näiteks Hartry Field on sellisel seisukohal arvude puhul. Sel juhul tuleb seletada, miks neid lauseid peetakse tõesteks ja miks nad on nii kasulikud, kui nad tõesed ei ole.

2. Descartes[muuda | muuda lähteteksti]

René Descartes otsis kindlust ning alustas mõttest, et matemaatikast leiame kindlust. Ta püüdis seda kindlust laiendada teistele valdkondadele. Ta küsis, miks just matemaatikas kindluseni jõutakse. Näiteks tavalistes uskumustes füüsilise maailma kohta saab mõistuspäraselt kahelda, sest meeled mõnikord petavad. Ei saa tõestada, et nad alati ei peta, järelikult saab kahelda, kas füüsiline maailm üldse on olemas. Kui matemaatikal on kindlus, mida uskumustel füüsilise maailma kohta ei ole, siis matemaatika tõed ei saa käia füüsilise maailma kohta, vaid peavad olema tõed meie ideede kohta või Jumala vaimu omadus, mis need ideed määrab. Ideed, millega matemaatika tegeleb, on erinevalt enamikust teistest ideedest eriti selged ja aredad. Sellepärast me ei saagi nendes kahelda ning saame lihtsatest matemaatilistest ideedest pika deduktsiooni teel jõuda keerulisemate mõteteni, kaotamata algset kindlust. Ta alustas ka teistes valdkondades kindluse otsingut selgetest ja aredatest ideedest, et deduktsiooni teel edasi minna. Descartes pidas selgeid ja aredaid ideid, millel matemaatika põhineb, kaasasündinuteks. Need ei ole mujalt tulnud ega minu leiutatud, vaid tulenevad minu loomusest, näiteks mis on mingi asi, mis on tõde ja mis on mõtlemine (kolmas meditatsioon). Loomulik on eeldada, et nende hulgas on ka arusaamine, mis on arv, tasand, sirge, punkt jne. Vastuses Hyperaspidesele ütles Descartes, et lootel on Jumala ja iseenda idee ja kõikide enesestmõistetavate tõdede ideed samamoodi nagu täiskasvanul, kes neile tähelepanu ei pööra; need oleks tal ka siis, kui ta kehast vabaneks. (Lapse hing ei pane kaasasündinud ideid tähele, enne kui ta on piisavalt küps, et meelte mõjust mitte välja teha.) Viiendas meditatsioonis ütleb Descartes, et ta leiab endast arvutult ideid asjadest, mida küll väljaspool teda ei ole olemas, kuid mis ei ole tema leiutatud, vaid on tõese ja muutumatu loomusega, näiteks kolmnurga määratletud loomus. Jumal on selle temasse pannud. Descartes ei ütle Platoni kombel, et nende ideede allikas on kogemus teises maailmas ja kolmnurgad peavad olemas olema. Matemaatika ei räägi abstraktsetest objektidest, mis on igasugusest mõtlemisest ja vaimust sõltumatud, vaid vaimuobjektidest, ideedest, mis saavad olla ainut vaimus. Ent mõlema teooria järgi on need sõltumatud tajutavast. Nende teadmine ei sõltu tajukogemusest, vaid on täiesti aprioorne. Mõlemad alustavad mõttest, et matemaatiline teadmine on kindel ja kaheldamatu, suurem osa matemaatilisest teadmisest tuleb tõestustest ja tõestused ei ole kaheldavad. Mõlemad taipasid, et tõestusel peavad olema tõestamata lähtekohad; Platon kahtles, kas neid teatakse kindlalt, Descartes oli aga selles veendunud ning esitas selgete ja aredate ideede teooria. See aga jätab palju küsimusi vastuseta.

3. Locke, Berkeley, Hume[muuda | muuda lähteteksti]