Morfoloogia (matemaatika)

Matemaatiline morfoloogia käsitleb teooriat ja viise geomeetriliste struktuuride analüüsimiseks. Enamasti kasutatakse seda digitaalses pilditöötluses. Selles on kasutusel teooriaid matemaatikast, mis käsitlevad kujundeid, näiteks võreteooriat, geomeetrilist tõenäosust ja diskreetset geomeetriat.

Põhilised matemaatilise morfoloogia operatsioonid on erosioon ja dilatsioon. Lihtsustatult on erosioon pildil objekti väiksemaks tegemine ja dilatsioon objekti suurendamine. Nende operatsioonide puhul on tähtis see, et need ei muuda enamjaolt objekti kuju. Seega on morfoloogias objektide kuju ja suurus olulisel kohal. Erosioonil ja dilatsioonil põhinevad teised keerulisemad morfoloogia operatsioonid

Ajalugu

Matemaatilise morfoloogia pioneerid on Georges Matheron ja Jean Serra, kes hakkasid 1964. aastal morfoloogia kontsepti pilditöötluses arendama ja selle tulemusena ilmus sel teemal mitu raamatut (Matheron, 1975; Serra, 1982; Serra, 1988). Lisaks panid nad 1967. aastal Prantsusmaal Pariisi Kaevanduskoolis kokku tiimi matemaatilise morfoloogia edasi uurimiseks ja arendamiseks. See tegutseb tänapäevani.

Matemaatilise morfoloogia teooria käsitles alguses vaid binaarpilte (iga piksli väärtus on kas 0 või 1), kuid aja jooksul on seda hakatud kasutama ka halltoonides piltidel.

Struktureeriv element

3x3 piksli suurune struktureeriv element erineva ümbruse valikuga

Matemaatilises morfoloogias liigutatakse struktureerivat elementi vasakult paremale ja ülevalt alla. Iga piksli kohta rakendatakse pildil olevale struktuurile operatsioone olenevalt kasutuse tüübist. Struktureeriva elemendi suurus, kuju ja keskpunkt määrab ala, mille ümbrust ühe piksli operatsioon arvestab. Struktureeriv element koosneb binaarsel kujul ühtedest.

Morfoloogia hulkadel

Enamikku morfoloogilisi operatsioone saab kirjeldada kombineerides hulgateoreetilisi operatsioone kahe lihtsama operatsiooni kaudu, milleks on erosioon ja dilatsioon kasutades Minkowski summat. Dilatsioon ja erosioon on defineeritud järgmiselt iga ${\textstyle X,B\in {\mathcal {P}}(E)}$ kohta:

${\begin{aligned}X\oplus B&=\bigcup _{b\in B}X_{b}=\bigcup _{x\in X}B_{x}=\{x+b\mid x\in X,b\in B\}\\X\ominus B&=\bigcap _{b\in B}X_{-b}=\left\{p\in E\mid B_{p}\subseteq X\right\}\end{aligned}}$

Rangelt võttes on ${\textstyle X}$ ja ${\textstyle B}$ sama tüüpi binaarsed operandid, kuid tavaliselt kirjeldab ${\textstyle X}$ pilti ja ${\textstyle B}$ struktureerivat elementi, ehk ${\textstyle X}$${\textstyle \oplus }$${\textstyle B}$ (dilatsioon) ja ${\textstyle X}$${\textstyle \ominus }$${\textstyle B}$ (erosioon) kirjeldavad muudetud pilti.

Morfoloogilised operatsioonid

Erosioon

Halltoonides pildi erosioon 5x5 piksli suurusega struktureeriva elemendiga

Erosiooni (${\textstyle X}$${\textstyle \ominus }$${\textstyle B}$) kasutades kaotatakse ära esiplaanil oleva objekti äärtes olevad pikslid.

Esiteks defineeritakse struktureeriv element, seejärel liigutatakse seda pildi peal vasakult paremale ja ülevalt alla.

Binaarse pildi töötlemisel jäetakse vaatluse all olev piksel alles ainult siis, kui iga piksel struktureeriva elemendi all on 1, vastasel juhul muudetakse piksel nulliks.

Halltoonides pildi erosioonil muudetakse vaatluse all olev piksel struktureeriva elemendi sees oleva miinimumväärtusega piksliks.

Erosioon on kasulik väikeste objektide eemaldamiseks või kahe ühendatud objekti eraldi lahutamiseks pildil.

Dilatsioon

Dilatsioon (${\textstyle X}$${\textstyle \oplus }$${\textstyle B}$) on erosiooni vastandoperatsioon.

Binaarse pildi töötlemisel jäetakse vaatluse all olev piksel alles siis, kui vähemalt ühe piksli väärtus struktureeriva elemendi sees on üks.

Halltoonides pildi dilatsioon 5x5 piksli suurusega struktureeriva elemendiga

Halltoonides pildi puhul muudetakse vaatluse all olev piksel maksimaalseks struktureeriva elemendi all olevatest pikslitest.

Dilatsiooni saab kasutada näiteks kahe objekti ühendamiseks pildil.

Avamine

Avamine, on erosioon, millele järgneb dilatsioon. Pildi f avamine struktureeriva elemendi s kaudu väljendatakse matemaatilisel kujul järgnevalt:

${\textstyle f{\circ }s=(f\ominus s)\oplus s}$

Avamine eemaldab pildilt väiksed objektid ja seejärel suurendab allesjäänud objekte, mida enne erosiooniga väiksemaks tehti.

Morfoloogiline avamine

Sulgemine

Sulgemine on dilatsioon, millele järgneb erosioon. Pildi f sulgemine struktureeriva elemendi s kaudu väljendadakse matemaatilisel kujul järgnevalt:

${\textstyle f\bullet s=(f\oplus s)\ominus s}$

Sulgemine "sulgeb" ehk ühendab kitsaste aladega ühendatud objektid, jättes suuremad objektid enamjaolt muutmata.

Morfoloogiline sulgemine

Mõned morfoloogilised operatsioonid põhioperatsioonide kaudu

Servatuvastus

Morfoloogia pakub kolme erinevat viisi pildil servatuvastuse sooritamiseks:

• Välimine äärte tuvastamine:

$(f\oplus s)-f$

• Sisemine äärte tuvastamine:

$f-(f\ominus s)$

• Morfoloogiline gradient:

$(f\oplus s)-(f\ominus s)$

White hat

White hat morfoloogiline operatsioon on erinevus algse pildi ja algse pildi avamise $\gamma$ vahel:

$WHT(f)=f-\gamma (f)$

Seda operatsiooni kasutatakse eredate regioonide leidmiseks tumeda taustaga pildilt.

Black hat

Black hat morfoloogiline operatsioon on erinevus algse pildi sulgemise $\phi$ ja algse pildi vahel:

$BHT(f)=\phi (f)-f$

Black hat on White hat operatsiooni vastand.

Kasutusalasid

• Pildiväärindus
• Pildi segmentimine
• Pilditaaste
• Servatuvastus
• Tekstuurtuletus
• Pildianalüüs
• Pilditihendus
• Karakteristikute valimine
• Mürataane