Liitintress

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search
Efektiivsed intressimäärad
20% aastase intressi teenimise efekt erinevate liitumise sageduste korral. Põhisumma on 1000 $

Liitintress on intress, mis arvutatakse laenu või deposiidi põhisummalt ja sellele lisandunud eelmiste perioodide kogunenud intressidelt. Liitintress on tulemuseks, kui intress reinvesteeritakse selle asemel, et see välja maksta. Liitintress on majanduses levinud mõiste. Albert Einsteinile omistatakse sageli ütlust, et "Liitintress on kaheksas maailmaime. Kes sellest aru saab, teenib seda. Kes ei saa, maksab seda." Ei ole mingit viidet või tõendusmaterjali, et Einstein seda päriselt öelnud oleks, aga tähenduslik tsitaat sellegipoolest.

Liitintressi võib võrrelda lihtintressiga, mille puhul eelneva perioodi intressi ei lisata põhisummale, seega liitintressi efekti ei teki. Lihtintressimäär on perioodi intress korrutatud perioodide arvuga. Seda nimetatakse ka vahel kui nominaalne intressimäär (mitte segamini ajada inflatsiooni mittearvestava intressimääraga, mida ka selliselt nimetatakse). Liitintressi arvutatakse nii:

,

kus:

P on algne põhisumma
P' on uus põhisumma
r on intressimäär
n on sagedus, kui tihti põhisumma ümber arvutatakse (näiteks kui r on intressimäär aastas, aga liitintressi arvutamine toimub igakuiselt, siis n=12)
t on aeg, mille jooksul intressi akumuleerumist vaadeldakse. t ühik on sama, millise ajaühiku kohta on antud intressimäär r.

Liitumise sagedus[muuda | muuda lähteteksti]

Liitumise sagedus ütleb, mitu korda aastas (või mõne muu ajaühiku jooksul) kogunenud intressi regulaarselt välja makstakse või kapitaliseeritakse. Levinud sagedused on üks, kaks või neli korda aastas; kord kuus; iga nädal; iga päev või pidev liitumine. Näiteks kui intress makstakse välja kord kuus ning intressimäär on antud aasta kohta, tähendab see, et liitumise sagedus on 12 ning ajaperioodi mõõdetakse kuudes. Liitumise efekt sõltub:

  1. Kehtivast nominaalsest intressimäärast ja
  2. Intressi arvutamise sagedusest.

Liitintressi kalkulaator on töövahend, mis võimaldab liitintressi efekti arvesse võttes investeeringute väljamaksete või laenumaksete suurusi arvutada.[1]

Iga-aastane maksemäär[muuda | muuda lähteteksti]

Nominaalne intressimäär ei võimalda erinevaid finantsinstrumente üks-üheselt võrrelda, kui neil on erinevad liitumise sagedused. Arvesse tuleb võtta mõlemat suurust (ja võimalikke muid kulusid). Paremaks võrdlemiseks on tuletatud suurus nimega iga-aastane maksemäär või krediidi kulukuse määr. Selleks, et tarbijatel oleks erinevaid laene ja muid instrumente lihtsam omavahel võrrelda, on paljudes riikides finantsteenuste pakkujatel kohustuslik näidata nende krediidi kulukuse määrasid. Sellel mõistel on erinevates keeltes erinevaid vasteid ja sünonüüme, näiteks aastane protsendimäär, aastane ekvivalentmäär, efektiivne intressimäär jms. Krediidi kulukuse määr näitab keskmiselt, kui palju aastas finantsinstrumendi kohta intressi koguneb. Selle arvutamisel on kaks aspekti:

  1. Määr on tavaline liitintress, mis on (ümber) arvutatud aastase perioodi jaoks ning
  2. Lisaks intressile võib esineda ka muid kulusid, näiteks maksud, haldustasud, lepingutasud vms. Need arvestatakse samuti.

Liitintressi näiteid[muuda | muuda lähteteksti]

  • 1000 Brasiilia reaali (BRL) paigutatakse hoiusele, mille eest makstakse hoiustajale 20% intressi aastas. Esimese aasta lõpus lisandub hoiustaja kontole intress 1000 x 20% = 200 BRL (ehk 1000 x 0,2). Kui intressi kontolt välja ei võeta, vaid lisatakse see algsele põhisummale, siis järgneval aastal arvutatakse 20% juba 1200 BRL pealt, seega teise aasta intressituluks on 1200 x 20% = 240 BRL.
  • Intressimäär 1% kuus on võrdne lihtintressimääraga 12% aastas, kuid lubades intresside liitumise efekti, saame aastaseks maksemääraks 12,68% (1.0112 − 1).
  • Hüpoteeklaenude makseid arvutatakse (st rakendatakse liitintressi valemit) tüüpiliselt kaks korda aastas, kusjuures maksed toimuvad igakuiselt. Nii on see ka näiteks Kanadas.[2]
  • Vahel on matemaatiliselt lihtsam, näiteks tuletisinstrumendi väärtuse arvutamisel, kasutada pidevat liitintressi. See on liitintressi kui funktsiooni piirväärtus, kus intresside liitumise sagedus läheneb lõpmatusele, st liitintressi arvutamine toimub ajas pidevalt.

Laenude intressimäärade matemaatika[muuda | muuda lähteteksti]

Perioodiline liitumine[muuda | muuda lähteteksti]

[3] [4] Perioodi jooksul kogunenud vara kokku, kaasa arvatud põhisumma, saadakse valemiga:

(Valem ja tähiste selgitused antud ka eespool)

[5] Kogu vaadeldava perioodi liitintress on lõppväärtuse ja algse põhisumma vahe:

Näide 1[muuda | muuda lähteteksti]

Oletagem, et 1500 € hoiustatakse pangas põhisummana, mis teenib aastast intressi 4,3%. Liitintressi arvutamise periood on neli korda aastas.
Seega on konto seis peale kuute aastat leitav, kasutades ülaltoodud valemit järgmiselt: P = 1500, r = 0.043 (4.3%), n = 4 ja t = 6:

Seega uus põhisumma peale kuute aastat on ligikaudu 1938,84 €.

Lahutades sellest algse põhisumma, saame teada kogutud intressisumma:

Näide 2[muuda | muuda lähteteksti]

Oletagem, et samalt summalt - 1500 € - arvutatakse liitintressi iga kahe aasta järel.
Seega on kogusumma kuue aasta järel leitav samuti eeltoodud valemiga, kusjuures algandmed on nüüd: P = 1500, r = 0.043 (4.3%), n = 1/2 (intressi arvutatakse üks kord kahe aasta jooksul) ning t = 6 :

Seega on kontojääk kuue aasta järel 1921,24 €.

Lahutades sellest algse põhisumma, saame teada kogutud intressisumma:

Intressisumma on võrreldes eelneva näitega väiksem, kuna liitumise sagedus on madalam.

Akumulatsioonifunktsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Kuna põhisumma P on valemis lihtsalt koefitsient, siis sageli jäetakse see lihtsuse mõttes ära. Kasutatakse järele jäänud akumulatsioonifunktsiooni. See funktsioon näitab, kui palju kasvab 1 ühik mistahes vaadeldava ajaperioodi t jooksul. Akumulatsioonifunktsioonid liht- ja liitintressi jaoks on:

Pidev liitumine[muuda | muuda lähteteksti]

Kui n, iga-aastane liitintressi arvutamise sagedus, kasvab lõpmata suureks, siis nimetatakse seda pidevaks liitintressiks. Võtame selle piltlikustamiseks näite võimalikult lihtsate arvudega. Vaatame, kuidas kasvab 1 euro 1 aastaga, kui intressimäär on 100% ja sagedus 1. Olgu põhisumma P = 1, r = 1 (100%), n = 1, ja t = 1:

Kui jätta muud tingimused samaks ning suurendada vaid intressi arvutamise sagedust ning arvutada kaks korda aastas, saame:

Arvutame intressi korra kvartalis (n=4) ja saame:

Esmapilgul võib jääda mulje, justkui oleks võimalik selliselt arvutamise sagedust suurendades lõpmatult lõpptulemust kasvatada, kuid näiteks iga päev arvutades (n=365), saame:

Kui n läheneb lõpmatusele, siis summa P' läheneb arvule e. Efektiivne aastane intressimäär läheneb sellisel juhul ülempiirile er − 1, kus e on matemaatiline konstant, mis on naturaallogaritmi aluseks. Kogusumma peale t perioodi möödumist ja pideva liitintressi rakendamist saab seega arvutada põhisumma P0 kaudu valemiga:

Pideva liitintressi kasutusi[muuda | muuda lähteteksti]

Valemit

on lihtne kasutada nii P kui ka P0 arvutamiseks. Olgu meil näiteks põhisummaks 100 € ja intressimääraks 8%, siis 3 aasta pärast on kogusumma

€.

Kui on teada, et saame kolme aastaga 100 € pideva liitintressi arvutamise teel, kusjuures intressimäär on 6%, siis investeeringu hetkväärtuseks HV saame:

€.[6]

Veel üks pideva liitintressi häid omadusi on skaleeritavus üle erinevate ajaperioodide. Kui intressimäär esimesel perioodil on 4% mingis teadmata ajaühikus ja teisel 3% samuti teadmata ajaühikus, siis alustades 100 euroga, kui see kasvab 120 euroni esimese aasta lõpuks, ja 150 euroni teise aasta lõpuks, saame leida aastased liitintressimäärad:

ja

Kui need kokku liita, saame kogu intressimääraks 40,55%, kuid sama oleksime ka saanud lihtsalt alg- ja lõppseisu arvestades:

[7]

Liitintress on ajas püsiv, ajas püsivus on oluline komponent riskihalduses. See tähendab, et kui üksiku perioodi intressimäär on normaaljaotusega juhuslik muutuja, siis tahame, et ka mitme perioodi juhuslikud muutujad oleksid normaaljaotusega. Mitme perioodi pideva liitintressiga arvutatud intressimäär ongi normaaljaotusega, erinevalt näiteks lihtintressist. Pidev liitintress on enimlevinud intressi arvutamise viis soovitavate omaduste tõttu, nagu lihtne skaleeritavus ja ajas püsivus.[8]

Liitumise alus[muuda | muuda lähteteksti]

Selleks, et konverteerida ühe alusega intressimäära teisele alusele, tuleb kasutada

kus r1 on intressimäär liitumise sagedusega n1, and r2 on intressimäär liitumise sagedusega n2.

Kui tegu on pideva liitintressiga, siis

kus on intressimäär pideva liitintressikorral ja r on intressimäär liitumise sagedusega n.

Igakuiselt amortiseeruv laen või hüpoteeklaen[muuda | muuda lähteteksti]

Amortiseeruva - ehk siis ühtlase igakuise maksega, kuni laen on makstud - laenu või hüpoteegi intressi arvutatakse liitintressi valemiga sageli igakuiselt. Valem maksete suuruse kohta tuletatakse järgnevas peatükis.

Igakuise makse täpne valem[muuda | muuda lähteteksti]

Igakuise makse () täpne valem on

või samahästi

kus:

= igakuine makse
= põhisumma
= igakuine intressimäär
= makseperioodide arv

Selle saab tuletada, kui arvutada laenujääki igal järgneval kuul.
Põhisumma, mis on alles peale esimest kuud, on

ehk siis algsumma on vähenenud makse võrra.
Kui kogu laen makstakse tagasi ühe kuuga, siis

, seega

Peale teist kuud on alles, seega

Kui kogu laen makstakse tagasi kahe kuuga, siis

, so

Seda võrrandit saab üldistada n kuu jaoks, . See on geomeetriline jada, mille summa on

ning selle saab teisendada kujule

Igakuise makse ligikaudne valem[muuda | muuda lähteteksti]

Valem, mis peab paika mõne protsendi ulatuses, tuleneb asjaolust, et tüüpiliselt kehtib ja koguperioodid =10–30 years), seega igakuine intressimäär on oluliselt väiksem ühest: , seega , mis viib meid järgmise lihtsustuseni

mis omakorda viitab abimuutujate kasutusele võtmise mõistlikkusele

.

Siin on igakuine makse 0-intressiga laenule, mis tuleb tagasi maksta osas. Selliste muutujatega võib lähenduse kirjutada kujul

on paarisfunktsioon:

mis viitab, et seda saab ritta arendada paarisarvuliste astmete kaudu.

Sellest omakorda järgneb, et saab ritta arendada paarisarvuliste astmetena pluss liige:

Osutub kasulikuks defineerida

nii, et

mida saab ritta arendada:

kus punktid viitavad liikmetele, mis on kõrgemat järku paarisarvuliste astmetega liikmed. Rittaarendus

on 1% täpsusega, kui .

Hüpoteegimakse näide[muuda | muuda lähteteksti]

10000 € hüpoteek, mis on võetud 30 aastaks intressimääraga 4,5%, saame:

mis annab

seega

Täpne maksesumma on €, seega lähendus oli kuuendiku protsendine ülehinnang.

Ajalugu[muuda | muuda lähteteksti]

Kunagi peeti liitintressi kõige hirmsamaks liigkasuvõtmiseks ning see oli rangelt hukka mõistetud nii Rooma õiguses kui ka mitmete riikide tavaõiguses.[9]

Firenze kaupmees Francesco Balducci Pegolotti pakkus ligikaudselt aastal 1340 oma raamatus Pratica della mercatura välja liitintresside tabeli. See tabel annab intressid 100 liirisele laenule vahemikus 1% kuni 8%, kuni 20 aastaks.[10].

Richard Witt'i raamat Arithmetical Questions, avaldatud 1613, oli liitintressi ajaloos tõeliseks nurgakiviks. See oli pühendatud täielikult liitintressile, kuivõrd varasemad autorid olid seda vaid põgusalt ühe matemaatikaõpiku peatüki raames käsitlenud. Witt'i raamat sisaldas tabeleid, mis baseerusid 10% intressimääral (tolle aja maksimaalne lubatud intressimäär laenudele) ning ka teistsugustel intressimääradel teisteks otstarveteks, näiteks kinnisvara rentimise hindamiseks. Witt oli matemaatika praktiseerija Londonis ning tema raamat saavutas tuntuse tänu väljenduse selgusele, sügavusele ja arvutuste täpsusele, raamat sisaldas 124 elulist näidet koos põhjalike arvutuskäikudega.[11][12]

Jacob Bernoulli avastas konstandi aastal 1683, kui tegeles liitintressi uurimisega.

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. "Compound Interest Calculator - MyCheckWeb.Com". MyCheckWeb.Com (en-US keeles). Vaadatud 2018-03-30. 
  2. http://laws.justice.gc.ca/en/showdoc/cs/I-15/bo-ga:s_6//en#anchorbo-ga:s_6 Interest Act (Canada), Department of Justice.
  3. https://qrc.depaul.edu/StudyGuide2009/Notes/Savings%20Accounts/Compound%20Interest.htm
  4. https://www.investopedia.com/terms/c/continuouscompounding.asp
  5. https://www.thecalculatorsite.com/articles/finance/compound-interest-formula.php
  6. https://www.investopedia.com/articles/07/continuously_compound.asp
  7. https://www.investopedia.com/articles/07/continuously_compound.asp
  8. https://www.investopedia.com/articles/07/continuously_compound.asp
  9. Mall:1728
  10. Evans, Allan (1936). Francesco Balducci Pegolotti, La Pratica della Mercatura. Cambridge, Massachusetts. pp. 301–2. 
  11. Lewin, C G (1970). "An Early Book on Compound Interest - Richard Witt's Arithmeticall Questions". Journal of the Institute of Actuaries 96 (1): 121–132. 
  12. Lewin, C G (1981). "Compound Interest in the Seventeenth Century". Journal of the Institute of Actuaries 108 (3): 423–442.