Lõpmatu impulsskoste

Lõpmatu impulsskoste on omadus, mis kirjeldab paljusid lineaarseid ajainvariantseid süsteeme (LTI system - linear time-invariant system), millel on impulsskoste $h(t)$, mis ei muutu nulliks pärast mingit kindlat punkti, vaid püsib lõpmatuseni nullist erineva väärtusega. Lõpmatu impulsskoste (IIR - Infinite impulse response) filtrid on üheks aluskiviks digitaalses signaalitöötluses. Tavaliselt on takistitest, kondensaatoritest ja induktoritest koosnevad analoogfiltrid lõpmatu impulsskoste süsteemid. Seevastu on digitaalsed filtrid enamjaolt lõpliku impulsskoste süsteemid.

Selgitus

Lõpmatu impulsskoste (IIR) filtrid baseeruvad analoogfiltritel ning sageduskoste on määratud nii lugeja nullkohtade (zeros) kui nimetaja nullkohtade (poles) poolt. Seevastu lõpliku impulsskoste filtri sageduskoste on defineeritud vaid lugeja nullkohtade (zeros) poolt. Öeldakse, et impulsskoste on lõpmatu, sest see on tagasisidega filter: kui me saadame filtrisse signaali, kus on ainult üks "1" ja mitmeid nulle, siis väljundisse saame lõpmata palju nullist erinevaid väärtusi. IIR filtrite vastand on FIR (Finite impulse response - lõplik impulsskoste) filtrid, sest need ei kasuta tagasisidet ehk pärast N elemendiga signaali filtreerimist on väljundis ainult nullid. Lõpmatu impulsskoste (IIR) filtrist võib mõelda ka kui rekursiivsest keskmistajast ehk, et see on kaalutud keskmine sisendi ja eelmise keskmise summast. Selle kaalu määravad $b_{k}$ ja $a_{k}$, mida on näha ka alltoodud valemis.

Valem

IIR filter skeem

Lõpmatu impulsskoste filtrid on kirjeldatavad järgmise valemiga:

$y[n]\,\!$ $=\sum _{k=0}^{M-1}b_{k}u[n-k]-\sum _{k=1}^{N-1}a_{k}y[n-k]$ ,

kus:

• x on sisendsignaal
• y on väljundsignaal
• $b_{k},a_{k}$ kutsutakse kordajateks/koefitsientideks
  

Väljund y(n) on leitav:
$y(n)\,\!$ $=\sum _{k=0}^{\infty }h(k)x(n-k)$.
Kuna impulsskoste on lõpmatu pikkusega, siis on ka summa lõpmatu. Süsteemi ülekandefunktsioon (transfer function) on:

$H(z)\,\!$ $=\sum _{k=0}^{\infty }h(k)z^{-k}$,
ning sageduskoste:
$H(e^{-j\omega })\,\!$ $=\sum _{n=0}^{\infty }h(n)e^{-j\omega }$

IIR filtri ja FIR filtri skeemid

Erinevused FIR suhtes

• Tagasisidega
• Ei pruugi olla kõige stabiilsemad, stabiilsus sõltub valemis mainitud kordajatest
• Väljund sõltub nii sisendist kui ka eelmistest väljunditest
• Lõpmatu pikkusega, sest sõltub ka eelmistest väljunditest

Eelised ja puudused

Eelised

• Lõpmatu impulsskoste (IIR) filtrid on mitmekülgsemad
• Odavamad
• Implementatsioon nõuab vähem parameetreid ja vähem mälu

Puudused

• Raskem optimeerida
• IIR filtril on tagasiside, seega koguneb müra
• Vastuvõtlikumad lõpliku pikkusega aritmeetika suhtes ehk arvutuste käigus tekib müra

Kasutusalad

Lõpmatu impulsskoste (IIR) filtreid kasutatakse enamasti seadetes, rakendustes ja süsteemides, kus mälu kogus on piiratud ning lineaarne faas pole niivõrd oluline, seega sobivad nad hästi signaali jälgimiseks. Need on laialdaselt levinud helirakendustes, IoT/IIoT tarkades sensorites ja suure kiirusega telekommunikatsiooni rakendustes.

Vaata ka

• Ülekandefunktsioon
• Lõplik impulsskoste filter
• Sageduskoste
• Impulsskoste