Lõplikult tekitatud Abeli rühm

Lõplikult tekitatud Abeli rühm on Abeli rühm $(G,+)$, mis on lõplikult tekitatud rühm.

Lõplkult tekitatud Abeli rühmade fundamentaalteoreem annab nende rühmade täieliku klassifikatsiooni.

Näiteid ja vastunäiteid

• Kõik lõplikud rühmad on lõplikult tekitatud. Sellepärast on ka lõplikud Abeli rühmad lõplikult tekitatud.
• Täisarvude rühm $(\mathbb {Z} ,+)$ on lõplikult tekitatud lõpmatu Abeli rühm. Selle tekitaja on 1.
• Lõpliku arvu lõplikult tekitatud rühmade otsesumma on lõplikult tekitatud Abeli rühm.
• Ratsionaalarvude rühm $(\mathbb {Q} ,+)$ ei ole lõplikult tekitatud. Tõepoolest, oletame, et ratsionaalarvud $x_{1},\ldots ,x_{s}$ on rühma tekitajad. Sel juhul saab valida naturaalarvu $w$, mis on kõigi arvude $x_{i}$ nimetajatega ühistegurita. Siis ei saa arvu ${\tfrac {1}{w}}$ esitada arvude $x_{1},\ldots ,x_{s}$ täisarvulise lineaarkombinatsioonina.

Klassifikatsioon

Lõplikult tekitatud Abeli rühma iga alamrühm ja iga faktorrühm on lõplikult tekitatud Abeli rühm. Lõplikult moodustatud Abeli rühmad koos rühmade homomorfismidega moodustavad Abeli kategooria.

Lõpliku astakuga Abeli rühm ei pruugi olla lõplikult tekitatud. Näiteks ratsionaalarvude rühma $\mathbb {Q}$ astak on 1, kuid see rühm ei ole lõplikult tekitatud. Teine näide on jäägiklassirühma $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ lõpmata paljude eksemplaride otsesumma, mille astak on 0, mis aga ei ole lõplikult tekitatud.

Lõplikult tekitatud Abeli rühmade fundamentaalteoreem ütleb, et iga lõplikult tekitatud Abeli rühm $G$ on isomorfne otsesummaga tsüklilistest rühmadest, mille järk on algarvu aste, ja lõpmatutest tsüklilistest rühmadest.