Kroneckeri deltafunktsioon

Kroneckeri deltafunktsioon (ka lihtsalt Kroneckeri delta) on kahe muutuja funktsioon diskreetses matemaatikas, mille väärtus on 1, kui argumendid on võrdsed ning väärtus on 0, kui argumendid pole võrdsed. Matemaatiliselt defineeritakse Kroneckeri deltafunktsiooni järgmiselt:

$\delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{kui }}i=j\\0&{\text{kui }}i\neq j\end{cases}}$; Näitena $\delta _{13}=0$, samas $\delta _{33}=1$.

Indeksite $i$ ja $j$ maksimaalne väärtus vastab süsteemi mõõtmelisusele, näiteks kolme-mõõtmelises ruumis omandavad $i$ ja $j$ väärtuseid 1 kuni 3.

Kroneckeri deltafunktsioon on nime saanud saksa matemaatiku Leopold Kroneckeri järgi, kes töötas funktsiooni välja 1860. aastal.

Pidevate signaalide, impulsside ja punktallikate matemaatilisel väljendamisel kasutatakse tavaliselt hoopis Diraci deltafunktsiooni.

Omadused

Kroneckeri Deltafunktsiooni korral kehtivad järgnevad võrrandid:

${\begin{aligned}\sum _{n}\delta _{ii}&=n,\\\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij}&=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{aligned}}$

Saame seega maatriksit $\delta$ vaadelda ühikmaatriksina.

Lisaks sellele on Kroneckeri delta sümmeetriline ehk: $\delta _{ij}=\delta _{ji}$, kuna kui $\delta _{ij}=1$ siis $i=j$ ja seega ka $\delta _{ji}=1$ ning samamoodi kui $\delta _{ij}=0$ siis ka $\delta _{ji}=0$.

Kasutusvaldkondi

Üldiselt kasutatakse Kroneckeri deltat erinevate avaldiste kirjapanekul, et seda teha lühidalt ja lihtsalt. Kroneckeri deltat saab kasutada matemaatiliste identiteetide tuletamiseks, matemaatiliste võrrandite lihtsustamiseks ning mõõtmete muundamiseks.

Kroneckeri deltafunktsiooni abil saame näiteks defineerida elektromagnetvälja või gravitatsioonivälja skalaarpotentsiaali osatuletist ruumis, kus on võrdne arv koordinaattelgi ja tuletise indekseid. Delta sümbolit kasutatakse ka kvantmehaanikas, kus see on oluline staatiliste energiaväärtuste väljendamisel.

Füüsikas kasutatakse Kroneckeri deltat tihti tensorite indeksite kokkuleppelises kirjutamises, eriti Lorentzi indeksite puhul, mis kirjeldavad neljamõõtmelist aegruumi. Kroneckeri deltat kasutatakse lihtsustamaks tensorite kirjapanekut. Kusjuures Kroneckeri delta on ise samuti teist järku tensor. Kroneckeri deltat kasutatakse tihti filtrina, nimelt sellel on kasulik omadus: $[...]_{j}\delta _{jk}=[...]_{k}$.

Klassikalises mehaanikas on Kroneckeri delta tuntud ka kui Kroneckeri sümbol ning seda kasutatakse näiteks Newtoni teise seaduse kirjutamisel vektorkujul:

$F_{i}=ma_{i}=m\delta _{ij}a_{j},$

kus $i$ ja $j$ on indeksid ning $F_{i}$ on jõu vektor $i$-nda dimensiooni suhtes, $m$ on keha mass, $a_{i}$ on sarnaselt vastavalt indeksile kiirenduse vektor mingis dimensioonis ja $\delta _{ij}$ on Kroneckeri delta.

Digitaalne signaalitöötlus

Ühikimpulss

Digitaalses signaalitöötluses kasutatakse ühikimpulsi mõistet, selleks et keerukamaid signaale luua või aluskomponentideks lahutada. Ühikimpulssi tähistatakse $\delta [n]$, see on Kroneckeri deltafunktsiooni $\delta _{ij}$ erijuht, kus funktsiooni indeksite hulgaks on täisarvude hulk.

Ühikimpulss on defineeritud kui $\delta [n]={\begin{cases}1&{\text{kui }}n=0\\0&{\text{kui }}n\neq 0\end{cases}}$.

Ei saa öelda aga teistpidi, et Kroneckeri deltafunktsioon on ühikimpulss. Kroneckeri deltafunktsiooni ja ühikimpulsi väärtustused kattuvad esimeses dimensioonis, kuid $\delta _{ij}$ omandab lisaks veel nullist erineva väärtuse näiteks teises dimensioonis, kus ühikimpulss pole defineeritud.