Kasutaja:Sanderko/Fourier' rida

Allikas: Vikipeedia
Mine navigeerimisribale Mine otsikasti

Fourier' rida (Fourier' ritta arendatud funktsioon) on perioodilise lähtefunktsiooni arendus, mis seab sellele vastavusse erinevate siinus- ja koosinusfunktsioonide summa ehk superpositsiooni.
Fourier' rida on nimetatud prantsuse matemaatiku ja füüsiku Joseph Fourier' auks. Algselt võttis Fourier sellise rea kasutusele, et lahendada soojusvõrrandit. Tänapäeval on Fourier' rida kasutusel paljudes erinevates füüsika valdkondades, näiteks elektroonikas ja signaalitöötluses.

Definitsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Funktsiooni Fourier' ritta arenduseks lõigul nimetatakse funktsiooni :

Kordajad[muuda | muuda lähteteksti]

Arvestades, et Fourier' rida koondub oma lähtefunktsiooniks, peab kehtima ning kasutades siinus- ja koosinusfunktsioonide ortogonaalsust on võimalik leida kordajad :

Eksponentkuju[muuda | muuda lähteteksti]

Euleri valemi,

abil saab Fourier' rea viia eksponent kujule :

kusjuures
Kuna eksponentkuju tuleb otseselt trigonomeetrilisest kujust, siis on kordajate vahel otsene seos[1].

Omadused[muuda | muuda lähteteksti]

  • Kui on paaritu funktsioon, siis Fourier' rea komponentidest jäävad alles vaid siinuse ees olevad kordajad
  • Kui on paaris funktsioon, siis jäävad alles vaid vabalige ja koosiinuse ees olev kordaja
  • Fourier' rida koondub funktsiooniks kõikides pidevuse punktides.
  • katkevuse punktides koondub Fourier' rida suuruseks kus ja

Näide[muuda | muuda lähteteksti]

Ruutlaine nelja esimese nullist erineva liikme Fourier' rida.

Olgu meil defineeritud funktsioon lõigul

Leiame selle funktsiooni Fourier' rea üldkuju. Esiteks paneme tähele, et on paaritu funktsioon ja seega Kui kasutame eelpool andtud valemit arvutamiseks, saame:

Definitsioonist lähtudes saab Fourier' rea esitada kujul:

Kõrval olevatel graafikutel on kujutatud selle funktsiooni Fourier' ritta arendused. Ülemisel on võetud esimene liige ja järjest liikmeid summeerides on alumisel joonisel näha nelja esimese nullist erineva liikme summast saadud funktsioon

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

<references>

  1. Nicholas Harrisoni õppematerial.