Kasutaja:HeitiEhrpais/Peano aksioomid

Peano aksioomid on matemaatilises loogikas kasutusel olevad aksioomid, mis defineerivad naturaalarvude hulga. Esitatud itaalia matemaatiku Giuseppe Peano poolt ladinakeelses teoses "Arithmetices principia, nova methodo exposita". Neid aksioome kasutatakse siiani peaaegu muutmata kujul metamatemaatika uurimisel.

Hermann Grassmann näitas 1860-tel mitut näidet, et mitut aritmeetilist tehet on võimalik tuletada induktsioonist ja rekursiivsetest funktsioonidest.

Peano aksioomid sisaldavad kolme tüüpi aksioome. Esimene aksioom defineerib, et vähemalt üks element hulgas on naturaalarv. Järgmised neli kirjeldavad aksioomide ekvivalentsiseoseid. Järgmised kolm aksioomi defineerivad naturaalarvude omadusi, mis tulenevad järgneva arvu leidmise funksioonist. Viimane aksioom defineerib matemaatilise induktsiooni naturaalarvude hulgal. Induksiooniaksioomi kasutatakse Peano aritmeetikas väidete tõestamiseks, mis kehtivad naturaalarvude aritmeetikas.

Signatuur

Naturaalarvude aritmeetika aksiomaatiliseks käsitlemiseks kasutatakse signatuuri: σ = {0; '; +; ·; =}. Liitmine (+) ja korrutamine (·) on kahekohalised funktsionaalsumbolid. Need kahekohalised algebralised tehted on hulgal $\mathbb {N}$ defineeritud võrdustega:

n + 0 = n
n + m' = (n + m)'
n · 0 = 0
n · m' = n · m + n

Ühekohaline funktsionaalsümbol ' on järgmise elemendi leidmise operatsioon.

Formulatsioon

Kui Peano formuleeris oma aksioomid, oli matemaatilise loogika keel veel algeline. Süsteem, mis kirjeldas loogilisi tähistusi aksioomide defineerimiseks, ei osutunud populaarseks. Kuigi see sama süsteem pani alguse modernsele tähistusele implikatsiooni (⊃, mis tuleneb Peano tähistusest 'C'.) ja kuuluvuse (∈, mis tuleneb Peano tähistusest ε) jaoks. Peano eristas selgelt matemaatilisi ja loogika sümboleid. Loogika sümbolid ei olnud veel levinud matemaatikas, esimene eristus sümbolite vahel tuli Gottlob Frege teoses Begriffsschrift aastal 1879. Peano ei olnud tuttav Frege'i tööga ja lõi enda tähistuse tuginedes George Boole ja Ernst Schröder töödele.

Aksioomid

Esimene aksioom defineerib, et konstant 0 on naturaalarv:

   1. 0 on naturaalarv

Järgmised neli aksioomi on seotud võrdusseosega:

   2. Iga naturaalarvu x peal kehtib võrdus x = x. See võrdusseos on refleksiivne.
   3. Iga naturaalarvu x ja y puhul, kui x = y siis kehtib ka y = x. See võrdusseos on sümmeetriline.
   4. Iga naturaalarvu x, y, z puhul, kui x = y ja y = z, siis x = z. See võrdusseos on transitiivne.
   5. Iga a ja b puhul, kui b on naturaalarv ja kehtib võrdus a = b, siis ka a on naturaalarv. See määrab, et naturaalarvud on kinnine süsteem.

Naturaalarvude järgmise elemendi leidmise operatsiooni kasutamisel, jääb arv alati naturaalarvuks. Ülejäänud aksioomid defineerivad naturaalarvude aritmeetilised omadused:

   6. Iga naturaalarvu n puhul, ka n' on naturaalarv.
   7. Iga naturaalarvu n ja m puhul, kui kehtib m' = n', siis ka m = n. Funktsioon S on injektiivne.
   8. Iga naturaalarvu n puhul, kui n' = 0 on väär, siis ei leidu naturaalarvu, mille järglaste leidmise funktsiooni väärtus on 0.

Peano originaalses formuleeringus oli esimeses aksioomis 0 asemel 1.. Modernsed formuleeringud Peano aksioomidest alustavad 0-iga. Kuna kõik naturaalarvud saab leida kasutades järglaste leidmise funktsiooni, siis 0 vajab lisa aksioomi:

   9. K on hulk milles:
      * 0 on hulgas K
      * Iga naturaalarvu n korral, kui n on hulgas K, siis ka n' on hulgas K.

Aritmeetika

Kasutades Peano aksioome saab tuletada operaatsione nagu liitmine ja korrutamine. Veel saab tuletada binaarset seost lineaarne järjestamine. Need funktsioonid ja relatsioonid on loodud kasutades hulgateooriat ja tüübiteooriat.

Liitmine

${\begin{aligned}a+0&=a,&{\textrm {(1)}}\\a+S(b)&=S(a+b).&{\textrm {(2)}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}a+1&=a+S(0)&{\mbox{kasutades definitsiooni}}\\&=S(a+0)&{\mbox{kasutades (2)}}\\&=S(a),&{\mbox{kasutades (1)}}\\\\a+2&=a+S(1)&{\mbox{kasutades definitsiooni}}\\&=S(a+1)&{\mbox{kasutades (2)}}\\&=S(S(a))&{\mbox{kasutades }}a+1=S(a)\\\\a+3&=a+S(2)&{\mbox{kasutades definitsiooni}}\\&=S(a+2)&{\mbox{kasutades (2)}}\\&=S(S(S(a)))&{\mbox{kasutades }}a+2=S(S(a))\\\end{aligned}}$

Korrutamine

${\begin{aligned}a\cdot 0&=0,\\a\cdot S(b)&=a+(a\cdot b)\end{aligned}}$

Näide, et a * 1 = a kasutades teadmist 1 = S(0):

${\begin{aligned}a*1&=a*S(0)\\&=a+(a*0)\\&=a+(0)\\&=a\end{aligned}}$

Näide, et 3 * 2 = 6 kasutades teadmist 2 = S(1):

${\begin{aligned}3*2&=3*S(1)\\&=3+(3*1)\\&=3+(3)\\&=6\\\end{aligned}}$