Graatsiline märgendus

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search
Graatsiline märgendus. Tipud on märgendatud mustaga, servad punasega

Graatsiline märgendus on selline m-servalise graafi märgendus, kus igale graafi tipule on omistatud väärtus vahemikus 0 kuni m (kaasaarvatud) nii, et ükski tipule omistatud arv ei kordu ja igale tippude x ja y vahelisele servale omistatud väärtus, mis on x ja y väärtuse absoluutvahe, on samuti unikaalne.[1] Graafi, millele on võimalik graatsilist märgendust teha, nimetatakse graatsiliseks graafiks.

Termini "graatsiline märgendus" autor on Solomon W. Golomb. Originaalis oli märgenduse klassifikatsiooni nimetus ß-märgendus. Nimetust kasutas esmakordselt Alexander Rosa graafide märgenduste artiklis 1967 aastal.[2]

Üks peamistest tõestamata hüpoteesidest graafiteoorias on graatsiliste puude hüpotees, samuti tuntud kui Ringel-Kotzigi hüpotees. Hüpotees sai nime autorite Gerhard Ringeli ja Anton Kotzigi järgi. Hüpotees väidab, et kõik puud on graatsilised.[3]

Graatsilise märgenduse nõrgem versioon on peaaegu graatsiline märgendus, kus tippude väärtused on arvuvahemiku 0 kuni m+1 (kaasaarvatud) alamhulk. Nagu graatsilise märgenduse puhulgi, ei tohi peaaegu graatsilise märgenduse tippudele omistatud väärtused kattuda ning servade väärtused on määratud tippude absoluutvahega. Servade väärtused peavad olema vahemikus 1 kuni m+1 (kaasaarvatud) ja unikaalsed.[4]

Matemaatiline definitsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Graafi graatsiliseks märgenduseks nimetatakse sellist tippude ja servade märgendust, kus nii kui on injektiivsed ja kehtib seos .[5]

Graatsilise märgenduse variatsioonid[muuda | muuda lähteteksti]

a-märgendus[muuda | muuda lähteteksti]

Aastal 1966 defineeris Rosa a-märgenduse kui graatsilise märgenduse lisaparameetriga , kus iga servale kehtib kas või .[6]

k-graatsiline märgendus[muuda | muuda lähteteksti]

Aastal 1982 tutvustasid Maheo ja Thuillier terminit "k-graatsilisus". Graaf servade arvuga on k-graatsiline, kui leidub märgendus tippudest nii, et servad, millele omistatakse väärtusteks nendevaheliste tippude absoluutvahe, kuuluvad hulka .[6]

-märgendus[muuda | muuda lähteteksti]

Graafi tipu arvuga -märgenduseks nimetatakse üksühest funktsiooni graafi tippudest , kus iga serva märgendatakse funktsiooniga . -märgendust tutvustasid Chartrand, Erwin, VanderJagt ja Zhang aastal 2004.[6]

Paaritu-graatsline märgendus[muuda | muuda lähteteksti]

Graafi nimetatakse paaritu-graatsiliselt märgendatuks, kui leidub injektsioon hulgast hulka nii, et kui iga serv on märgendatud , siis iga serva märgendus kuulub hulka . on graafi servade arv.[6]

Hammingi-graatsiline märgendus[muuda | muuda lähteteksti]

Graafi nimetatakse Hammingi-graatsiliselt märgendatuks, kui leidub injektiivne märgendus -st binaarsete -paaride  massiivi nii, et , kus d on Hammingi kaugus.[6]

Peamised tulemused[muuda | muuda lähteteksti]

  • Oma originaalartiklis tõestas Rosa, et Euleri graaf servade arvuga või ei saa olla graatsiline.[2]
  • Samuti oma originaalartiklis tõestas Rosa, et tsükkel on graatsiline siis ja ainult siis, kui või .
  • On tõestatud, et kõik ahelad ja röövikgraafid on graatsilised.
  • On tõestatud, et kõik perfektsete paaridega lobster-graafid on graatsilised.[7]
  • Kõik kuni 27-servalised puud on graatsilised. Selle tulemuseni jõudsid Aldred ja McKay aastal 1998, kasutades arvuteid.[6][8] Aastal 2010 jõuti tulemuseni, et kõik kuni 35-servalised graafid on graatsilised.[9]
  • On tõestatud, et kõik n-dimensionaalsed hüperkuubid on graatsilised.[10]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Virginia Vassilevska, "Coding and Graceful Labeling of trees." SURF 2001. PostScript Vaadatud 23.04.2018
  2. 2,0 2,1 Rosa, A. (1967). "On certain valuations of the vertices of a graph". "Theory of Graphs (Internat. Sympos., Rome, 1966)". New York: Gordon and Breach. pp. 349–355. MR 0223271. 
  3. Huang, C.; Kotzig, A.; Rosa, A. (1982). "Further results on tree labellings". Utilitas Mathematica 21: 31–48. MR 668845. 
  4. Danny Dyer, Ian Payne, Nabil Shalaby, Brenda Wicks. "On the graceful conjecture for triangular cacti". 2012.
  5. Ming Zhou, Rodrigo (2016). "Graceful Labeling of Graphs". p. 4. Vaadatud 23.04.2018. 
  6. 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 Gallian, Joseph A. (1997). "A dynamic survey of graph labeling". Electronic Journal of Combinatorics 5. MR 1668059. Vaadatud 23.04.2018. .
  7. Morgan, David (2008). "All lobsters with perfect matchings are graceful". Bulletin of the Institute of Combinatorics and its Applications 53: 82–85. Vaadatud 23.04.2018. .
  8. Aldred, R. E. L.; McKay, Brendan D. (1998). "Graceful and harmonious labellings of trees". Bulletin of the Institute of Combinatorics and its Applications 23: 69–72. MR 1621760. .
  9. Fang, Wenjie (2010). "A Computational Approach to the Graceful Tree Conjecture". arXiv:1003.3045. .
  10. Kotzig, Anton (1981). "Decompositions of complete graphs into isomorphic cubes". Journal of Combinatorial Theory, Series B 31 (3): 292–296. MR 638285. doi:10.1016/0095-8956(81)90031-9. .

Välislingid[muuda | muuda lähteteksti]