Fredholmi integraalvõrrand

Fredholmi integraalvõrrand (ingl Fredholm integral equation) on integreeruv võrrand, mida uuris rootsi matemaatik Erik Ivar Fredholm. Võrrandi lahenduvuse ja lahendi ühesuse aluseks on nn Fredholmi teoreemid, mille Fredholm avaldas 20. sajandi alguses.

Üldine integraalvõrrand

Üldine integraalvõrrand on esitatav kujul
$u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,s)u(s)ds\quad x\in [a,b]$
kus $u(x)$ on otsitav funktsioon, funktsioon $K(x,s)$ on integraali tuum, $f(x)$ on vabaliige ja $\lambda$ on arvuline kordaja.

Vastavat integraalvõrrandit nimetatakse Fredholmi integraalvõrrandiks, kui selles sisalduv integraaloperaator on täielikult pidev.

Sageli ei ole integraalvõrrandeid võimalik analüütiliselt lahendada või on analüütilise lahendi leidmine liiga keeruline, seega otsitakse lahendeid numbriliste meetodite abil.

Fredholmi 1. liiki integraalvõrrand

Mittehomogeenseks Fredholmi esimest liiki integraalvõrrandiks nimetatakse integraalvõrrandit kujul
$f(x)=\lambda \int _{a}^{b}K(x,s)u(s)ds\quad x\in [a,b]$
kus tuum $K(x,s)$ ja vabaliige $f(x)$ on teada ning otsitavaks funktsiooniks on $u(s)$. Fredholmi 1. liiki integraalvõrrandi lahendamine osutub tavaliselt mittekorrektselt seatud ülesandeks ning võib juhtuda, et sellel lahend puudub või lahend ei ole ühene. Mittekorrektse ülesande puhul võivad vabaliikme väikestele vigadele vastata lahendi suured vead.

Esimest liiki integraalvõrrandi lahendamisel kasutatakse tavaliselt regulariseerimismeetodit, mille puhul konstrueeritakse regularisaator ning selle abil leitakse ülesande lähislahendid. Regulariseerimismeetodiga teisendatakse 1. liiki Fredholmi integraalvõrrand 2. liiki võrrandiks ning saadud võrrand lahendatakse rakendades 2. liiki integraalvõrrandi lahendamiseks olemasolevaid meetodeid. Ühe efektiivse meetodi mittekorrektsete ülesannete lahendamiseks – Tihhonovi meetodi – pakkus välja nõukogude matemaatik Andrei Nikolajevitš Tihhonov.

Fredholmi 2. liiki integraalvõrrand

Fredholmi teist liiki integraalvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul
$u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,s)u(s)ds\quad x\in [a,b]$.
Selles integraalvõrrandis on tuum $K(x,s)$ ja funktsioon $f(x)$ antud ning tavaliselt on ülesandeks leida funktsioon $u(x)$. 2. liiki võrrandi puhul on otsitav funktsioon $u(x)$ nii integraali märgi all kui ka integraali märgist väljas. Teist liiki integraalvõrrandite lahendamine osutub tavaliselt korrektselt seatud ülesandeks ning nende lahendamiseks kasutatakse erinevaid numbrilisi meetodeid. Levinud meetodid on kvadratuurvalemite kasutamine ja kollokatsioonimeetod. Kvadratuurvalemite meetodi korral koostatakse ja lahendatakse lineaarne võrrandisüsteem. Kvadratuurvalemina võib kasutada näiteks trapetsvalemit või Simpsoni valemit. Kollokatsioonimeetoditest on lihtne kasutada splainidega interpoleerimist. Samas on see küllaltki tõhus meetod ning annab suhteliselt täpsed lahendid. Juhul kui integraalvõrrandis on kas vabaliikmel $f(x)$ või tuumal $K(x,s)$ iseärasusi, siis tihti püütakse need iseärasused kõrvaldada võrrandi teisendamise teel.

Rakendused

Fredholmi integraalvõrrandid esinevad paljudes füüsikalistes mudelites. Näiteks kasutatakse Fredholmi esimest liiki võrrandeid radiograafias, spektroskoopias, kosmilises kiirguses, pilditöötluses ja signaalitöötluses. 2. liiki võrrand esineb näiteks kiirguslevi võrrandis.