Fraunhoferi difraktsioon

Fraunhoferi difraktsioon kirjeldab olukorda, kus difraktsiooni mustrit vaadeldakse seda tekitavast objektist kaugel või eseme ja vaatlustasandi vahele on paigutatud lääts nii, et vaatlustasand asub läätse fokaaltasandis.

Difraktsiooni muster, mis tekib objekti taga väikestel kaugustel, on kirjeldatav Fresneli difraktsiooni võrrandite abil. Fraunhoferi valem on nimetatud Joseph von Fraunhoferi järgi, kuigi ta ise selle väljatöötamisel kaasa ei löönud.

Valem

Fraunhoferi difraktsioon esineb seoses:

${\frac {b^{2}}{L\lambda }}\ll 1$,

kus b – pilu diameeter/laius, $\lambda$ – lainepikkus ning L – pilu ja ekraani vaheline kaugus.

Kui takistus katab osaliselt pealelangeva laine frondi, siis osa valgusest hajutatakse takistuse ümber ning tihti on näha heledamaid ja tumedamaid ribasid tekkinud varju äärel. Seda efekti nimetatakse difraktsiooniks. Neid efekte on võimalik teatud piirini modelleerida Huygensi-Fresneli printsiibi abil (täpne matemaatiline kirjeldus on mõnevõrra keerukam). Huygens postuleeris, et iga primaarse lainefrondi punkt on uute sekundaarsete sfääriliste lainete allikaks ning nende sekundaarsete lainete summa määrab lainefrondi igal järgneval ajahetkel. Fresnel arendas enda valemit, kasutades Huygensi sekundaarlaineid ning arvestades lainete superpositsiooni. Viimane valem kirjeldab difraktsiooni efekte väga hästi.

Ühe pilu difraktsioon

Vaatleme olukorda, kus ristkülikukujulisele avale, mille laius b on palju kordi väiksem kui pikkus, langeb tasalaine. Lainevektor ${\overrightarrow {k}}$ on ava normaali sihis. Leiame kiiritustiheduse jaotuse ekraanil $\mathbf {E}$, mis paikneb praktilises lõpmatuses, või pilu taga asetseva läätse fokaaltasandis.

Langegu valguslaine pilule nii, et laine leviku siht ühtib pilu normaali sihiga ning vastavalt Huygensi-Fresneli printsiibile on iga pilu lõik $\mathbf {dx}$ uute sekundaarlainete allikaks, kusjuures allikad võnguvad samas faasis. Arvestades langeva laine amplituudiks $E_{0}$, kiirgab punkt $\mathbf {dx}$ laine, mille amplituud on ${\frac {E_{0}}{b}}dx$. Sekundaarlained, mis levivad nurga $\varphi$ all normaali suhtes, omavad erinevaid faase. Pilu servast kaugusel $\mathbf {x}$ paiknevast allikast $\mathbf {dx}$ lähtuv sekundaarlaine läbib täiendava teepikkuse $\Delta =x\sin {\varphi }$ . Viimasele vastab faasinihe $kx\sin {\varphi }$

Pärast integreerimisi ja teisendusi saadaksegi liitlaine amplituud:

$E=E_{0}{\frac {\sin {u}}{u}}$, kus $u={\frac {\pi b}{\lambda }}\sin {\varphi }$

Teame, et kiiritustihedus $I\propto E^{2}$ , seega

$I_{\varphi }=I_{0}{\bigg (}{\frac {\sin {u}}{u}}{\bigg )}^{2}$

Difraktsioonipildi miinimumide tingimus avaldub kui $b\sin {\varphi }=m\lambda$ , kus m – miinimumide järk. Selle füüsikaline sisu: kiiritustihedus on null suundades, kus käiguvahe pilu äärmistest punktidest lähtuvate sekundaarlainete vahel on täisarv lainepikkusi. Ligi 92% pilule langevast valgusest jääb esimest järku miinimumide $m=\pm 1$ vahele. Tegemist on tsentraalse maksimumiga.

Positiivse läätse fokaaltasand

Kui positiivsele läätsele langeb tasalaine, siis kõik "kiired", mis jõuavad fookusse, on samas faasis. See on võrdeline olukorraga, kus vaadeldakse tasalainet lõpmatuses. Seega kui difrakteerunud valgust fokuseeritakse läätsega, siis vaadeldavat difraktsioonimustrit saab modelleerida kasutades Fraunhoferi difraktsiooni. Nii võib difrakteerunud valgust kujutada ette kui muutuva orientatsiooniga tasalaineid. Kui lääts on paigaldatud difraktsiooni tekitava ava ette, siis iga tasalaine jõuab fookusse eri kohtades fokaaltasandil nii, et fookus on proportsionaalne x ja y suunalise koosinusega. Seega nende intensiivsuse muutus on funktsioon suunast.

Fraunhoferi difraktsiooni saab jälgida mitmesuguste objektide taga, neist levinumad ja ka paremini kirjeldatud on ümmargune pilu, sõrestik ning ka pilude süsteem, näiteks difraktsioonivõre.