Lihtharmooniline võnkumine

Lihtharmooniline liikumine: ühtlaselt pöörleva punkti projektsioon teljele

Lihtharmooniline võnkumine või lihtharmooniline liikumine on mehaanikas ja füüsikas perioodiline võnkumine või liikumine, kus mõjub ainult taastav jõud, mis on võrdeline nihkega tasakaaluasendist ja mõjub vastassuunaliselt nihke suunaga tasakaaluasendist. Süsteemi, mille liikumist saab kirjeldada lihtharmoonilise võnkumisena nimetatakse lihtharmooniliseks ostsillaatoriks (ing. k - simple harmonic oscillator).

Lihtharmooniline liikumine võib olla matemaatiliseks mudeliks paljude erinevatele liikumiste kirjeldamisel. Antud mudeli abil saab ka kirjeldada matemaatilise pendli võnkumist ja molekulaarseid võnkumisi. Lihtharmoonilist liikumist iseloomustab kõige paremini vedru küljes oleva massi liikumine, kui vedru poolt tekitatava taastava jõu suurus allub Hooke'i seadusele. Vastav massi liikumine tasakaalu asendist on ajas sinusoidaalne ja toimub ühel kindlal sagesusel. Pendli võnkumise kirjeldamiseks lihtharmoonilise liikumise abil peab tema nihkel tasakaalu asendist mõjuma samuti antud nihkega võrdeline taastav jõud. Selline olukord realiseerub vaid siis, kui pendel võngub väikese amplituudiga.

Matemaatiliselt peab taastav jõud $F$ võrduma

${F}=-k{x},$

kus $F$ vedru poolt mõjuv taastav jõud (mõõdetakse njuutonites - N), $k$ on vedru jäikus (ühik - N·m⁻¹) ja $x$ on nihe tasakaaluasendist (ühik meeter - m).

Dünaamika

Vastavalt Newtoni mehaanikale kirjeldab ühedimensionaalset lihtharmoonilist liikumist konstantsete kordajatega teist järku lineaarne harilik diferentsiaalvõrrand, mille saab tuletada Newtoni teisest seadusest ja Hooke'i seadusest vedru otsas oleva massi korral. Nende põhjal on kogu kehale mõjuv jõud $F_{\mathrm {kogu} }$ võrdne

$F_{\mathrm {kogu} }=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx,$

kus $m$ on võnkuva keha mass, $x$ on nihe tasakaaluasendist ja $k$ on vedru jäikus. Seega,

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x,$

antud diferentsiaalvõrrandi lahendiks on sinusoidaalne funktsioon kujul

$x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right),$

kus konstandid ${c_{1}}$ ja ${\ce {c_{2}}}$ määravad algtingimused. Lahendit saab kirjutada ka kujul:

$x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right),$

kus

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},\qquad A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},\qquad \tan \varphi ={\frac {c_{2}}{c_{1}}}.$

Kõikidel antud konstantidel on liikumise kirjeldamise jaoks oluline sisu: $A$ on amplituud (maksimaalne nihe tasakaaluasendist), $\omega$ on ringsagedus ja $\varphi$ algfaas.

Kasutades matemaatilist analüüsi võime leida massi kiiruse ja kiirenduse ajamuutlikuse:

$v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi ),$

Kiirus:

${\omega }{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}$

Maksimaalne kiirus: v=ωA (esineb liikmisel läbi tasakaaluasendi)

$a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi ).$

Maksimaalne kiirendus: Aω² (esineb maksimaalsel kaugusel tasakaaluasendist)

Definitsiooni järgi on lihtharmoonilisel liikumises oleva massi m kiirendus võrdeline tema nihkega.

$a(x)=-\omega ^{2}x.$

kus

$\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$

kuna ω = 2πf,

$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}},$

ja kuna T = 1/f, kus T periood,

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}.$

Antud võrrandites on näha, et lihtharmooniline liikumine on isokroonne (periood ja sagedus on amplituudist ja algfaasist sõltumatud).

Energia

Asendades ω² suurusega k/m, avaldub süsteemi kineetiline energia K ajahetkel t vastavalt

$K(t)={\tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi )={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi ),$

ja potentsiaalne energia

$U(t)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi ).$

Hõõrde või teiste liikumist takistavate jõudude puudumisel on süsteemi kogu mehaaniline energia ajas muutumatu suurus ehk konstantne

$E=K+U={\tfrac {1}{2}}kA^{2}.$

Näited

Sumbuvuseta vedru ja massi süsteemi liikumist saab kirjeldada lihtharmoonilise võnkumisena.

Järgnevad on füüsikalised süsteemid, mis on näideteks lihtharmoonilistest ostsillaatoritest.

Mass vedru otsas

Mass m mis on kinnitatud vedru külge jäikusega k liikumine tasakaaluasendi ümber juhul, kui puudub sumbuvus on lihtharmooniline võnkumine. Antud süsteemi võnkeperioodi saab leida valemiga

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}},$

mis näitab, et võnkeperiood ei sõltu amplituudist ega ka raskuskiirendusest.

Ühtlane pöörlemine

Lihtharmooniliseks võnkumiseks võib lugeda ühtlaselt pöörleva (nurkiirenduseta) keha punkti liikumise ühedimensionaalset projektsiooni. Kui punkt pöörleb xy-tasandil nurkkiirusega ω keha pöörlemistsentrist kaugusel r, siis punkti projektsioonide liikumine koordinaattelgedel on lihtharmooniline võnkumine, mill amplituud on r ja ringsagedus on ω.

Matemaatiline pendel

Matemaatilise pendli sumbuvuseta väikese amplituudiga võnkumist kirjeldab lihtharmooniline võnkumine.

Matemaatilise pendli võnkumisel väikese amplituudiga võib pendli liikumist lugeda lähedaseks lihtharmoonilise võnkumisega. Matemaatilise pendli võnkumist kirjeldab järgnev diferentsiaalvõrrand:

$-mgl\sin \theta =I{\ddot {\theta }},$

kus, m on pendli mass, $g$raskuskiirendus, l on pendli pikkus, $I$on inertimoment, $\theta$ on pendli niidi nurk vertikaalist ja ${\ddot {\theta }}$on antud nurga muutuse kiirendus ehk nurkkiirendus. Väikese amplituudiga võnkumiste korral on ka maksimaalne nurk tasakaaluasendist on nullilähedaste väärtustega. Nullilähedaste nurkade korral kehtib seos sin θ ≈ θ ja diferentsiaalvõrrand saab kuju:

$-mgl\theta =I{\ddot {\theta }},$

mis teeb nurkiirenduse ${\ddot {\theta }}$ võrdeliseks nurga suurusega $\theta$ ja seega viimane diferentsiaalvõrrand rahuldab lihtharmoonilise liikumise definitsiooni.

Diferentsiaalvõrrandi järgi saab määrata matemaatilise pendli võnkeperioodi. Pikkusega l pendli võnkeperioodi annab valem:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$.

Valemist on näha et pendli võnkeperiood ei sõltu võnkeamplituudist ja pendli massist. Võnkeperiood sõltub raskuskiirendusest $g$ ja pendli pikkusest, mistõttu sama pikkusega pendlil on Kuul pikem võnkeperiood kui Maal, kuna raskuskiirendus Kuul on väiksem. Kuna raskuskiirenduse $g$ väärtus on Maa eri paigus erineb, on sama pikkusega pendli võnkeperiood samuti erinev.

Vaata ka

• Harmooniline võnkumine
• Võnkumine
• Isokroonsus
• Matemaatiline pendel