Russelli paradoks

Russelli paradoks [r'asseli paradoks] on Bertrand Russelli poolt 1901. aastal avastatud paradoks, mis näitab, et Cantori ja Frege naiivne hulgateooria on vastuoluline.

Vaatleme hulka M, mille defineerime kõikide niisuguste hulkade hulgana, mis ei ole iseenda elemendid. Teiste sõnadega: hulk A on hulga M element siis ja ainult siis, kui A ei ole A element.

Cantori süsteemis on M korrektselt defineeritud hulk. Kas M on iseenda element? Kui on, siis ta definitsiooni kohaselt ei ole hulga M element. Teiselt poolt, kui oletada, et M ei ei ole iseenda element, siis ta peab jällegi hulga M definitsiooni kohaselt olema hulga M element. Sellepärast viivad väited "M on hulga M element" ja "M ei ole hulga M element" mõlemad vastuoluni.

Frege süsteemis vastab M mõistele ei rakendu iseendale. Ka Frege süsteem viib vastuoluni: nimelt selgub, et on olemas selle mõistega määratletud klass, mis rakendub iseendale parajasti siis, kui ta ei rakendu iseendale.

Millised hulgad on iseenda elemendid?

Russelli paradoksi sõnastus tekitab küsimuse: aga kas on siis mõni hulk, mis on iseenda element?

See alajaotus vajab täiendamist

Ajalugu

Millal täpselt Russell selle paradoksi avastas, see pole teada. Nähtavasti oli see mais või juunis 1901, tõenäoliselt seoses tööga Cantori teoreemi kallal, mille kohaselt entiteetide arv mingis klassis on väiksem kui nende entiteetide alamklasside arv. Russelli raamatu "Principles of Mathematics" (mitte segi ajada hilisema teosega "Principia Mathematica") X peatükis paragrahvis 100 nimetab ta seda Vastuoluks (The Contradiction) ning ütleb, et jõudis selleni analüüsides Cantori tõestust, et ei ole olemas kõige suuremat kardinaalarvu. Ka 1901. aasta artiklis ajakirjas International Monthly, mille pealkiri on "Recent work in the philosophy of mathematics", mainis Russell Cantori tõestust, et ei ole suurimat kardinaalarvu, ning väitis, et "meister" on teinud peene loogikavea, mida ta arutab hiljem.

Kuulus on Russelli kiri Fregele juunist 1902, milles ta sellest paradoksist teatas. Frege töötas parajasti oma "Aritmeetika põhiseaduste" teise köite kallal. Ta oli vastuseks paradoksile sunnitud kirjutama raamatule lisa, kuid hiljem osutus, et tema vastuargumendud ei olnud piisavad. Üldlevinud arvamuse kohaselt loobus Frege selle tagajärjel täielikult tööst klasside loogika kallal.

Ka Ernst Zermelo märkas seda paradoksi, kui ta hulgateooria oma versiooni välja töötas, ent ta pidas seda liiga ilmseks, mistõttu ta selle kohta midagi ei avaldanud! Zermelo süsteem väldib seda probleemi kuulsa eraldamisaksioomi abil.

Russell ja Alfred North Whitehead püüdsid üles ehitada hulgateooria kitsendatud variandi, millest nad lootsid, et ta ühtaegu väldib Russelli paradoksi ja võimaldab üles ehitada aritmeetika. Kurt Gödel näitas hiljem, et isegi kui see süsteem on mittevastuoluline, ei õnnestu selle abil taandada kogu aritmeetikat loogikale (Gödeli mittetäielikkuse teoreem).

Russelli paradoksi üldarusaadavad variandid

Mõned selle paradoksi variandid on tavaelule lähemal ning mitteloogikutele arusaadavamad.

Näiteks habemeajaja paradoksis on juttu habemeajajast, kes hajab habet igaühel, kes iseendal habet ei aja, ja mitte kellelgi teisel. Kui hakata mõtlema, kas ta siis ka iseendal habet ajab, võib päris nõutuks jääda...

Samuti tuleneb Russelli paradoksist, et kui Vikipeedias oleks iseennast mittesisaldavate loendite loend, siis peab see olema kas mittetäielik (peab iseenda välja jätma) või ebaõige (kui ta iseenda sisse võtab).

Hulgateooria püüded Russelli paradoksi vältida

Et seda paradoksi ja teisi sarnaseid raskusi vältida, sõnastati hulgateooria ümber aksiomaatilise süsteemina ning saadi aksiomaatiline hulgateooria. Russell ise töötas teoses Principia Mathematica koos Alfred North Whiteheadiga välja tüüpide teooria. Kuigi see süsteem väldib teadaolevaid paradokse ning selle abil saab kogu matemaatika üles ehitada, ei ole ta laialt kasutusel. Kõige tavalisem aksiomaatiline hulgateooria on tänapäeval Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika, milles tüübi mõistet ei kasutata ja kitsendatakse hulkade universum nendele hulkadele, mida saab konstrueerida antud hulkadest treatud aksioomide abil. Russelli paradoksi formuleeringus vaadeldud hulka niiviisi konstrueerida ei saa, mistõttu ta ei ole selle teooria järgi hulk, vaid pärisklass.

Rakendused ja lähedased teemad

Peale hulgateooria reformi on habemeajaja paradoksil olnud veel kaks väga olulist rakendust: Kurt Gödel tõestas oma mittetäielikkuse teoreemi selle paradoksi formaliseerimise abil ja Alan Turing tõestas sama võtet kasutades, et peatumisprobleem ei ole lahenduv ning predikaatloogika ei ole lahenduv.

Russelli paradoks on väga lähedane valetaja paradoksile.