Astendamine

Astendamiseks nimetatakse matemaatilist tehet aⁿ kahe arvuga: arvu n nimetatakse astendajaks ehk eksponendiks ning arvu a astendatavaks ehk astme aluseks. Kui n naturaalarv, siis tähendab astendamine n võrdse teguri a korrutamist:

$a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}.\,$

Astendamise pöördtehted on juurimine ja logaritmimine.

Astme mõiste

Astmeks nimetatakse

• ühest suurema naturaalarvu n korral korrutist, milles on n võrdset tegurit a: $a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}$
• negatiivse astendaja korral $a^{-n}={1 \over a^{n}}$, kui a ≠ 0
• a¹ = a
• a⁰ = 1, kui a ≠ 0
• ratsionaalarvulise astendaja korral $a^{m \over n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$, a > 0
• irratsionaalarvulise astendaja korral $a^{s}=\lim _{n\to \infty }{a^{r_{n}}}$, kus r_n on suvaline ratsionaalarvude jada, mille piirväärtuseks on irratsionaalarv s.

Astme omadused

1. Kui a > 0, siis iga reaalarvulise astendaja r korral ka a^r > 0
2. ${(-a)}^{2n}=a^{2n}$
3. ${(-a)}^{2n+1}=-a^{2n+1}$
4. Iga r > 0 korral 0^r = 0
5. 1^r=1

Tehted astmetega

1. Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liituvad ${a^{m}\cdot a^{n}}=a^{m+n}$
2. Võrdsete astendajatega astmete korrutamisel astendatavad korrutatakse ${a^{m}\cdot b^{m}}=(ab)^{m}$
3. Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse ${a^{m} \over a^{n}}=a^{m-n}$
4. Võrdsete astendajatega astmete jagamisel astendatavad jagatakse ${a^{m} \over b^{m}}={\left({a \over b}\right)}^{m}$
5. Astme astendamisel astendajad korrutatakse ${(a^{m})}^{n}=a^{m\cdot n}$

Vaata ka

• Juur (matemaatika)
• Logaritm
• Newtoni binoomvalem
• Astmefunktsioon
• Aritmeetiline tehe