Aritmeetiline jada: erinevus redaktsioonide vahel

Eemaldatud sisu Lisatud sisu

Reasisene

Redaktsioon: 17. mai 2017, kell 14:54

Aritmeetiline jada ehk aritmeetiline progressioon on jada, milles iga kahe järjestikuse liikme vahe on konstantne.

Aritmeetilise jada üldliige avaldub kujul

a_{n}=a_{0}+nd,

kus

a_{0}

on aritmeetilise jada esimene element ehk algliige,

d

on aritmeetilise jada vahe ja

n

= 0,1,2,....

Kõik aritmeetilised jadad, kus d ≠ 0, on tõkestamata jadad. Kui d > 0, siis n → ∞ korral $a_{n}$ → ∞. Kui d < 0, siis n → ∞ korral $a_{n}$ → –∞.

Näited

Jada (7, 12, 17, 22, ..., 5n + 7, ...) on aritmeetiline jada algliikmega $a_{0}$ =7 ja vahega d = 5.

Aritmeetilise jada n esimese liikme summa

Aritmeetilise jada n esimese liikme summa avaldub kujul

S_{n}=a_{0}+a_{1}+...+a_{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}(a_{0}+dk)=n(a_{0}+d{\frac {n-1}{2}})

.

Tõestus

Tõestuseks võib konstrueerida järgmise summa

2S_{n}=(a_{0}+a_{n-1})+(a_{1}+a_{n-2})+...+(a_{n-1}+a_{0}).\,

Asendades viimasesse avaldisse pealiikme valemi saame summa

2S_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}(a_{0}+dk+a_{0}+d(n-1-k))=\sum _{k=0}^{n-1}(2a_{0}+d(n-1))=n(2a_{0}+d(n-1)).

Võrduse poolte jagamine kahega annabki aritmeetilise jada n esimese liikme summa valemi.

Vaata ka

Geomeetriline jada

@@ 2. rida: / 2. rida: @@
 Aritmeetilise [[jada üldliige]] avaldub kujul
-: <math>a_n = a_1 + n d,</math>
+: <math>a_n = a_0 + n d,</math>
 kus
-:<math>a_1</math> on aritmeetilise jada esimene element ehk '''algliige''',
+:<math>a_0</math> on aritmeetilise jada esimene element ehk '''algliige''',
 :<math>d</math> on '''aritmeetilise jada vahe''' ja
-:<math>n</math> = 1,2,3....
+:<math>n</math> = 0,1,2,....
 Kõik aritmeetilised jadad, kus d ≠ 0, on [[tõkestamata jada]]d. Kui d > 0, siis n → ∞ korral <math>a_n</math> → ∞. Kui d < 0, siis n → ∞ korral <math>a_n</math> → –∞.
 == Näited ==
-Jada (7, 12, 17, 22, ..., 5n + 7, ...) on aritmeetiline jada algliikmega <math>a_1</math> =7 ja vahega d = 5.
+Jada (7, 12, 17, 22, ..., 5n + 7, ...) on aritmeetiline jada algliikmega <math>a_0</math> =7 ja vahega d = 5.
 == Aritmeetilise jada ''n'' esimese liikme summa ==
 Aritmeetilise jada ''n'' esimese liikme [[summa]] avaldub kujul
-:<math>S_n = a_1 + a_2 ... + a_{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} (a_1 + d k) = n (a_1 + d \frac{n-1}{2}) </math>.
+:<math>S_n = a_0 + a_1 + ... + a_{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} (a_0 + d k) = n (a_0 + d \frac{n-1}{2}) </math>.
 === Tõestus ===
@@ 21. rida: / 21. rida: @@
 :<math>2S_n = (a_0 + a_{n-1}) + (a_1 + a_{n-2}) + ... + (a_{n-1} + a_0). \, </math>
 Asendades viimasesse avaldisse pealiikme valemi saame summa
-: <math>2S_n = \sum_{k=0}^{n-1} (a_1 + d k + a_1 + d (n - 1 - k)) = \sum_{k=0}^{n-1} (2a_1 + d (n - 1)) = n (2a_1 + d (n - 1)). </math>
+: <math>2S_n = \sum_{k=0}^{n-1} (a_0 + d k + a_0 + d (n - 1 - k)) = \sum_{k=0}^{n-1} (2a_0 + d (n - 1)) = n (2a_0 + d (n - 1)). </math>
 Võrduse poolte jagamine kahega annabki aritmeetilise jada ''n'' esimese liikme summa valemi.