Normaaljaotus

[[Pilt:Normal Distribution PDF.svg|pisi|Normaaljaotuse tihedusfunktsioon. Punane kõver vastab standardsele normaaljaotusele. Normaaljaotuseks (ka Gaussi jaotuseks) nimetatakse matemaatikas pideva juhusliku suuruse X jaotust, mida iseloomustab tihedusfunktsioon

$f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$

kus

$\mu$ on keskväärtus, mis iseloomustab jaotuse paiknemist reaalsirgel ja

$\sigma$ on standardhälve, mis iseloomustab jaotuse laiust. Normaaljaotuse tihedusfunktsiooni nimetatakse ka Gaussi funktsiooniks ja selle graafikut Gaussi kõveraks.

Normaaljaotuse eriline tähtsus tuleneb muu hulgas tsentraalsest piirteoreemist, mille kohaselt jaotused, mis tekivad suure arvu sõltumatute mõjude superpositsioonina, on nõrkadel eeldustel ligilähedaselt normaaljaotusega.

Paljude mõõtmistulemuste hälbeid keskmisest saab paljudes loodus-, majandus- ja tehnikateaduslikes kontekstides kas täpselt või vähemalt väga heas lähenduses kirjeldada normaaljaotuse (bioloogias sageli logaritmilise normaaljaotuse) abil. See on nii eeskätt olukordades, kus paljud faktorid mõjuvad üksteisest sõltumatult eri suundades.

Normaaljaotusega juhusikke suurusi kasutatakse näiteks järgmiste nähtuste kirjeldamisel:

• juhuslikud mõõtevead
• juhuslikud hälbed etteantud mõõtmest detailide valmistamisel
• Browni liikumine.

Kindlustusmatemaatikas sobib normaaljaotus kahjuandmete modelleerimiseks keskmise suurusega kahjude korral.

Mõõtetehnikas kasutatakse sageli normaaljaotust, mis kirjeldab mõõtevigade hajumist.

Standardhälve $\sigma$ kirjeldab normaaljaotuse laiust. Normaaljaotuse poollaius on umbes 2,4-kordne (täpselt $2{\sqrt {2\ln 2}}$-kordne) standardhälve. Ligilähedaselt kehtib:

• hälbe vahemikus $\pm \sigma$ keskväärtusest paikneb 68,27 % kõigist mõõtetulemustest;
• hälbe vahemikus $\pm 2\sigma$ keskväärtusest paikneb 95,45 % kõigist mõõtetulemustest;
• hälbe vahemikus $\pm 3\sigma$ keskväärtusest paikneb 99,73 % kõigist mõõtetulemustest;

Ja ümberpöördult saab antud tõenäosuste jaoks leida maksimaalsed hälbed keskväärtusest:

• 50 %-l kõigist mõõtetulemustest on hälve keskmisest kuni $0{,}675\sigma$;
• 90 %-l kõigist mõõtetulemustest on hälve keskmisest kuni $1{,}645\sigma$;
• 95 %-l kõigist mõõtetulemustest on hälve keskmisest kuni $1{,}960\sigma$;
• 99 %-l kõigist mõõtetulemustest on hälve keskmisest kuni $2{,}576\sigma$.

Nii saab peale keskmise ka standardhälbele lihtsa tähenduse omistada.