Koonuselõige: erinevus redaktsioonide vahel

Allikas: Vikipeedia
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
Resümee puudub
16. rida: 16. rida:
Koonuselõikeid saab sobivas [[x-y-koordinaadistik|''x''-''y''-koordinaadistik]]us kirjeldada [[2. astme võrrand]]itega:
Koonuselõikeid saab sobivas [[x-y-koordinaadistik|''x''-''y''-koordinaadistik]]us kirjeldada [[2. astme võrrand]]itega:
* [[Ellips]] [[keskpunkt]]iga ''M'' punktis (0,0) ja [[peatelg|peateljega]] [[x-telg|''x''-teljel]]:
* [[Ellips]] [[keskpunkt]]iga ''M'' punktis (0,0) ja [[peatelg|peateljega]] [[x-telg|''x''-teljel]]:
::<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \quad b=|MS_3|, \qquad a,b\ne0\quad,</math> (vaata joonist). (Kui <math>a=b=r</math>, saame [[ringjoon]]e.)
::<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \quad b=|MS_3|, \qquad a,b\ne0\quad,</math> (vaata joonist). (Kui <math>a=b=r</math>, saame ringjoone.)
* [[Parabool]] [[haripunkt]]iga punktis (0,0) ja [[parabooli telg|teljega]] [[y-telg|''y''-teljel]]:
* [[Parabool]] [[haripunkt]]iga punktis (0,0) ja [[parabooli telg|teljega]] [[y-telg|''y''-teljel]]:
::<math>y=ax^2, \quad a=\frac{1}{4|SF|}, \qquad a\ne0\quad,</math> (vaata joonist).
::<math>y=ax^2, \quad a=\frac{1}{4|SF|}, \qquad a\ne0\quad,</math> (vaata joonist).

Redaktsioon: 30. oktoober 2015, kell 13:04

Koonuselõiked

Koonuselõige ehk koonuslõige on joon, mis tekib, kaksikkoonuse (pinna) lõikamisel tasandiga.

Kui lõikepind sisaldab koonuse tippu, siis lõige on kas punkt, sirge või lõikuvate sirgete paar. Kui lõikepind ei sisalda koonuse tippu, siis tekib ellips, parabool või hüperbool. Traditsiooniliselt vaadeldakse koonuselõigetes ringjoont kui ellipsi erijuhtu, kui ellipsit, mille ekstsentrilisus on 0.

Seda, et siis tekivad tõesti need geomeetriliste kohtadena tasandil defineeritud jooned, seda saab ilma arvutusteta tõestada Dandelini kerade abil.[1]

Koonuselõiget võib vaadelda ka kvadriku kahemõõtmelise erijuhuna ning kirjeldada koonuselõike üldvõrrandiga, mis on 2. astme võrrand.

Koonuselõigete võrrandid

Ellips: definitsioon
Parabool: definitsioon
Hüperbool: definitsioon
Kõdunud koonuselõiked:
lõikuvate sirgete paar, paralleelsete sirgete paar, sirge, punkt

Koonuselõikeid saab sobivas x-y-koordinaadistikus kirjeldada 2. astme võrranditega:

(vaata joonist). (Kui , saame ringjoone.)
(vaata joonist).
  • Hüperbool keskpunktiga M punktis (0,0) ja peateljega x-teljel:
(vaata joonist).
  • Sirge läbi punkti (0,0):
  • Punkt, punkt (0,0):

Täielikkuse huvides võetakse juurde veel kaks juhtumit, mis ei ole päris koonuselõiked, mida aga saab samuti kirjeldada 2. astme võrranditega:

või .

Viimased kaks juhtumit esinevad püstise ringsilindri tasandiliste lõigetena. Silindrit saab võtta koonuse erijuhuna, mille korral koonuse tipp on lõpmatuses. Sellepärast arvatakse ka need juhtumid koonuselõigete hulka.

Ühikkoonuse tasandilised lõiked

Koonuselõigete juhtumid

Selleks et näidata, et ülalpool koonuselõigeteks nimetatud jooned ja punktid tõepoolest tekivad koonuse lõikamisel tasandiga, lõikame ühikkoonust (püstist ringkoonust) tasandiga, mis on paralleelne y-teljega.

Vaata ka

Viited

  1. Kleine Enzyklopädie Mathematik, VEB Verlag Enzyklopädie, Leipzig 1977, lk 325–326.