Russelli paradoks: erinevus redaktsioonide vahel

Eemaldatud sisu Lisatud sisu

Reasisene

Redaktsioon: 29. august 2004, kell 07:59

Russelli paradoks [r'asseli paradoks]] on Bertrand Russelli poolt 1901. aastal avastatud paradoks, mis näitab, et Cantori ja Frege naiivne hulgateooria on vastuoluline.

Vaatleme hulka M, mille defineerima kõikide niisuguste hulkade hulka, mis ei ole iseenda elemendid. Teiste sõnadega: hulk A on hulga M element siis ja ainult siis, kui A ei ole A.

Cantori süsteemis on M korrektselt defineeritud hulk. Kas M on iseenda element? Kui on, siis ta definitsiooni kohaselt ei ole hulga M element. Teiselt poolt, kui oletada, et M ei sisalda iseennast, siis ta peab jällegi hulga M definitsiooni kohaselt hulga M element. Sellepärast viivad väited "M on hulga M element" ja "M ei ole hulga M element" mõlemad vastuloni.

Frege süsteemis vastab M mõistele ei rakendu iseendale. Ka Frege süsteem viib vastuoluni: nimelt selgub, et on olemas selle mõistega määratletud klass, mis rakendub iseendale parajasti siis, kui ta ei rakendu iseendale.

Ajalugu

Millal täpselt Russell selle paradoksi avastas, see pole teada. Nähtavasti oli see mais või juunis 1901, tõenäoliselt seoses tööga Cantori teoreemi kallal, mille kohaselt entiteetide arv mingis piirkonnas on väiksem kui nende entiteetide alamklaside arv. Russelli raamatu "Principles of Mathematics" (mitte segi ajada hilisema teosega Principia Mathematica")X peatükis paragrahvis 100, kus ta nimetab seda Vastuoluks (The Contradiction), ütleb ta, et ta jõudis selleni analüüsides Cantori tõestust, et ei ole kõige suremat kardinaalarvu. Ka 1901. aasta artiklis ''International Monthly'', mille pealkiri on "Recent work in the philosophy of mathematics", mainis Russell Cantori tõestust, et ei ole suurimat kardinaalarvu ning väitis, et "meister" on süüdi peenes loogikaveas, mida ta arutab hiljem.

Kuulus on Russelli kiri Fregele juunis 1902, mikes ta teatas paradoksist. Frege töötas parajasti oma "Aritmeetika põhiseaduste teise köite kallal. Ta oli vastusena paradoksile sunnitud koostama lisana, kuid hiljem osutus, et tema vastuargumendud ei olnud piisavad. Tavaliselt srvatakse, et selle tagajärjel loobus Frege täielikult oma tööst klasside loogika kallal.

Russelli paradoks on väga lähedane valetaja paradoldile.

@@ 1. rida: / 1. rida: @@
-'''Russelli paradoks''' on [[Bertrand Russell]]i poolt [[1901]]. aastal avastatud [[paradoks]], mis näitab, et  [[Georg Cantor|Cantor]]i ja [[Gottlob Frege|Frege]] [[naiivne hulgateooria]] on [[vastuolulisus|vastuoluline]].
+'''Russelli paradoks''' [r'asseli paradoks]] on [[Bertrand Russell]]i poolt [[1901]]. aastal avastatud [[paradoks]], mis näitab, et  [[Georg Cantor|Cantor]]i ja [[Gottlob Frege|Frege]] [[naiivne hulgateooria]] on [[vastuolulisus|vastuoluline]].
 Vaatleme [[hulk]]a ''M'', mille defineerima kõikide niisuguste hulkade hulka, mis ei ole iseenda [[element (matemaatika)|elemendid]]. Teiste sõnadega: hulk ''A'' on hulga ''M'' element [[siis ja ainult siis, kui]] ''A'' ei ole ''A''.
@@ 5. rida: / 5. rida: @@
 Cantori süsteemis on ''M'' [[korrektselt defineeritud hulk]]. Kas ''M'' on iseenda element?  Kui on, siis ta [[definitsioon]]i kohaselt ei ole hulga ''M'' element. Teiselt poolt, kui oletada, et  ''M'' ei sisalda iseennast, siis ta peab jällegi hulga ''M'' definitsiooni kohaselt hulga  ''M'' element. Sellepärast viivad väited "''M'' on hulga ''M'' element" ja  "''M'' ei ole  hulga ''M'' element" mõlemad vastuloni.
 Frege süsteemis vastab ''M'' mõistele ''ei rakendu  iseendale''. Ka  Frege süsteem viib vastuoluni: nimelt selgub, et on olemas selle mõistega määratletud [[klass (matemaatika)|klass]], mis rakendub iseendale  [[parajasti siis, kui]] ta ei rakendu iseendale.
+==Ajalugu==
+Millal täpselt Russell selle paradoksi avastas, see pole teada. Nähtavasti oli see mais või juunis [[1901]], tõenäoliselt seoses tööga [[Cantori  teoreem]]i kallal, mille kohaselt [[entiteet]]ide arv mingis piirkonnas on väiksem kui nende entiteetide [[alamklas]]ide arv. Russelli raamatu "''[[Principles of Mathematics]]''" (mitte segi ajada hilisema teosega [[Principia Mathematica]]''")X peatükis paragrahvis  100, kus ta nimetab seda Vastuoluks (''The Contradiction''), ütleb ta, et ta jõudis selleni analüüsides Cantori [[tõestus]]t, et ei ole kõige suremat [[kardinaalarv]]u. Ka  1901. aasta artiklis [[''International Monthly'']], mille pealkiri on "''Recent work in the philosophy of mathematics''", mainis Russell Cantori tõestust, et ei ole suurimat kardinaalarvu ning väitis, et "meister" on süüdi peenes loogikaveas, mida ta arutab hiljem.
+Kuulus on Russelli kiri Fregele juunis [[1902]], mikes ta teatas paradoksist. Frege töötas parajasti oma "[[Aritmeetika põhiseadused|Aritmeetika põhiseaduste]] teise köite kallal. Ta oli vastusena paradoksile sunnitud koostama lisana, kuid hiljem osutus, et tema vastuargumendud ei olnud piisavad. Tavaliselt srvatakse, et selle tagajärjel loobus Frege täielikult oma tööst [[klasside loogika]] kallal.
 Russelli paradoks on väga lähedane [[valetaja paradold]]ile.