Arvtelg: erinevus redaktsioonide vahel

Mine navigeerimisribale Mine otsikasti
Eemaldatud 6332 baiti ,  10 aasta eest
Resümee puudub
==Arvsirge joonise rakendused==
Arvsirget kasutatakse sageli [[reaalarvude hulk|kõigi reaalarvude hulga]] <math>\mathbb{R}</math> kujutamiseks ja [[funktsioon (matemaatika)|funktsioon]]ide [[graafik]]ute joonestamiseks. Arvsirge [[lõik]]udena kujutatakse [[intervall (matemaatika)|intervall]]e. Arvsirget kasutatakse ka [[liitmine|liitmise]] ja [[lahutamine|lahutamise]] õpetamisel, eriti tehete puhul [[negatiivne arv|negatiivsete arvudega]]. Samuti kasutatakse arvsirget [[võrratussüsteem]]ide lahendamisel ning tehete puhul reaalarvude hulga [[alamhulk]]adega.
 
==Arvsirge kui reaalarvude ruum==
Arvsirge punktid sageli samastatakse reaalarvudega. Seetõttu saab arvsirget vaadelda sirgena, mille punktid on reaalarvud. Arvsirge on siis [[reaalarvude hulk|kõigi reaalarvude hulk]] <math>R</math> kui [[ruum (matemaatika)|ruum]], nimelt [[ühemõõtmeline eukleidiline ruum]]. Seda ruumi saab vaadelda [[vektorruum]]ina, [[afiinne ruum|afiinse ruumina]], [[meetriline ruum|meetrilise ruumina]], [[topoloogiline ruum|topoloogilise ruumina]], [[mõõdu ruum]]ina või [[lineaarne kontiinuum|lineaarse kontiinuum]]ina.
 
Nagu ka reaalarvude hulka, tähistatakse reaalsirget tavaliselt sümboliga <math>R</math> või <math> \mathbb{R} </math>. Mõnikord kasutatakse ka tähist '''R<sup>1</sup>''', et näidata, et tegu on ühemõõtmelise eukleidilise ruumiga.
 
===Lineaarse kontiinuumina===
Reaalsirge on tavalise [[järjestus]]e < suhtes [[lineaarne kontiinuum]]: ta on [[lineaarne järjestus|lineaarselt järjestatud]] ning see järjestus on [[tihe järjestus|tihe]] ja tal on [[supreemumiomadus]].
 
Reaalsirgel ei ole [[maksimaalne element|maksimaalseid]] ega [[minimaalne element|minimaalseid elemente]]. Tal on [[loenduv hulk|loenduv]] [[tihe hulk|tihe]] [[alamhulk]], nimelt [[ratsionaalarvude hulk]]. On tõestatud, et mis tahes lineaarne kontiinuum, millel leidub loenduv tihe alamhulk ja ei leidu maksimaalseid ega minimaalseid elemente, on [[järjestusisomorfsus|järjestusisomorfne]] reaalsirgega.
 
Reaalsirge rahuldab ka [[loenduva ahela tingimus]]t: iga [[paarikaupa ühisosata hulgad|paarikaupa ühisosata]] [[mittetühi hulk|mittetühjade]] [[lahtine intervall|lahtiste intervallide]] [[kogum]] reaalsirgel on [[loenduv|loenduv]]. [[Järjestusteooria]]s küsib kuulus [[Suslini probleem]], kas iga lineaarne kontiinuum, mis rahuldab loenduva ahela tingimust ning millel pole maksimaalseid ega minimaalseid elemente, on reaalsirgega järjestusisomorfne. On osutunud, et see väide on [[valikuaksioomiga Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika]]st sõltumatu.
 
===Meetrilise ruumina===
[[Pilt:Absolute difference.svg|pisi|300px|[[Meetrika]] reaalsirgel on [[absoluutvahe]] ehk [[vahe]] [[absoluutväärtus]].]]
Reaalsirge moodustab [[meetriline ruum|meetrilise ruumi]], mille meetrika annab [[absoluutvahe]] ehk [[vahe]] [[absoluutväärtus]]:
:''d''(''x'', ''y'')  =  {{!}}'' x'' − ''y'' {{!}}.
Kui ''p'' ∈ '''R''' ja ''ε'' > 0, siis
''ε''-[[kera]] ruumis <math>R</math> keskpunktiga <math>p</math> on lihtsalt [[vahemik]] (''p'' − ''ε'', ''p'' + ''ε'').
 
Reaalsirgel kui meetrilisel ruumil on mitu tähtsat omadust:
* Reaalsirge on [[täielik meetriline ruum]]: iga punktide [[Cauchy jada]] [[koonduv jada|koondub]].
* Reaalsirge on [[lineaarselt sidus ruum|lineaarselt sidus]] ning on [[geodeetiline meetriline ruum|geodeetilise meetrilise ruumi]] üks lihtsamaid näiteid.
* Reaalsirge [[Hausdorffi mõõde]] on 1.
* Reaalsirge [[isomeetriarühm]] ehk [[eukleidiline rühm]] <math>E(1)</math> koosneb kõigist funktsioonidest kujuga ''x'' ↦ ''t'' ± ''x'', kus <math>t</math> on reaalarv. See rühm on [[rühmade isomorfsus|isomorfne]] [[aditiivne rühm|aditiivse rühma]] <math>R</math> ning 2. järku [[tsükliline rühm|tsüklilise rühma]] [[poolotsekorrutis]]ega ning on [[üldistatud diedraalne rühm|üldistatud diedraalse rühma]] näide.
 
===Topoloogilise ruumina===
[[Pilt:Real projective line.svg|pisi|Realsirge saab [[lõpmata kauge punkt]]i lisamise teel [[kompaktifikatsioon|kompaktifitseerida]].]]
Reaalsirgel on loomulik [[topoloogia (hulk)|topoloogia]], mille saab defineerida kahel moel.
 
Esiteks, kuna [[reaalarvude hulk]] on loomulikul viisil [[täielikult järjestatud hulk]], on tal loomulik [[järjestustopoloogia]]. Teiseks, kuna reaalarvude hulk on loomulikul moel [[meetriline ruum]], on neil loomulik [[meetriline topoloogia]]. See järjestustopoloogia ja see meetriline topoloogia langevad kokku. [[Topoloogiline ruum|Topoloogilise ruumina]] on reaalsirge [[homöomorfsus|homöomorfne]] [[vahemik]]uga (0, 1).
 
Reaalsirge on triviaalsel moel [[topoloogiline muutkond]], mille [[mõõde]] on 1. Ta on homöomorfismi täpsusega üks kahest erinevast [[rajata muutkond|rajata]] [[1-muutkond|1-muutkonnast]] (teine on [[ringjoon]]).
 
Tal on ka loomulik [[diferentseeruv struktuur]], millega ta on [[diferentseeruv muutkond]]. [[Difeomorfism]]i täpsusega võimaldab reaalsirge loomulik topoloogia ainult ühte diferentseeruvat struktuuri.
 
Reaalsirge on [[lokaalselt kompaktne ruum|lokaalselt kompaktne]] ja [[parakompaktne ruum|parakompaktne]], samuti [[loenduva baasiga ruum|loenduva baasiga]] ja [[normaalne ruum|normaalne]].
 
Ta on ka [[lineaarselt sidus ruum|lineaarselt sidus]] ning seetõttu ka [[sidus ruum|sidus]], kuigi teda saab muuta mittesidusaks ühe punkti eemaldamisega. Reaalsirge on ka [[kokkutõmmatav ruum|kokkutõmmatav]], nii et kõik tema [[homotoopiarühm]]ad ja [[redutseeritud homoloogia]] rühmad on 0.
 
Reaalsirge on [[lokaalselt kompaktne ruum]], mida saab mitut moodi kompaktifitseerida. Selle [[ühepunktiline kompaktifikatsioon]] on [[ringjoon]] (nimelt [[projektiivne reaalsirge]]) ning lisapunkti võib vaadelda [[märgita lõpmatus]]ena. Teise võimalusena saab reaalsirgele lisada kaks [[ots]]a, nii et saadakse [[laiendatud reaalsirge]] [−∞, +∞]. On ka [[Stone'i–Čechi kompaktifikatsioon]], mille puhul lisatakse lõpmata palju punkte.
 
Mõnel juhul on otstarbekas anda reaalsirgele mitteloomulikke topoloogiaid, näiteks [[alumise piirväärtuse topoloogia]] ja [[Zariski topoloogia]]. Reaalsirge puhul langeb viimane kokku [[kolõplik topoloogia|kolõpliku topoloogiaga]].
 
===Vektorruumina===
Reaalsirge on ühemõõtmeline [[vektorruum]] üle [[reaalarvude korpus]]e '''R''' (üle iseenda). Tal on loomulik [[skalaarkorrutis]] (reaalarvude [[korrutis]]), nii et tekib [[eukleidiline ruum]]. Loomulik [[norm (matemaatika)|norm]] on [[absoluutväärtus]].
 
===Mõõdu ruumina===
Reaalsirge kanooniline [[mõõt]] on [[Lebesgue'i mõõt]], mis on [[Boreli mõõt|Boreli mõõdu]] vähim [[täielik mõõt|täielik]] laiend. Iga [[intervall (matemaatika)|intervall]]i täielik mõõt on selle [[pikkus (matemaatika)|pikkus]].
 
Reaalsirge Lebesgue'i mõõt on üks lihtsamaid näiteid [[Haari mõõt|Haari mõõdust]] [[lokaalselt kompaktne rühm|lokaalselt kompaktsel rühmal]].
 
==Ajalugu==

Navigeerimismenüü