Arvtelg: erinevus redaktsioonide vahel

Sirvi ajalugu interaktiivselt

← Vanem muudatus Uuem muudatus →

Eemaldatud sisu Lisatud sisu

VisuaalneVikitekst

Reasisene

Redaktsioon: 16. juuni 2012, kell 14:43

See artikkel räägib reaalarvude geomeetrilisest kujutamisest; reaalarvude ruumi kohta vaata artiklit Reaalsirge

Kuigi joonisel on näha ainult täisarvud –9-st kuni 9-ni, kujutab arvsirge kõiki reaalarve nii täisarvude vahel kui ka lõputult mõlemal pool joonise raame.

Siin on täisarvudele vastavad punktid markeeritud põikilõikudega.

Arvtelg ehk arvsirge on reaalarvude kujutamiseks kasutatav sirge, millel on fikseeritud arvu null kujutis ja arvu üks kujutis.^[1] Sellega on ühtlasi fikseeritud ka kõikide teiste reaalarvude kujutised (punktipaaridele, mille punktide kaugus on võrdne, vastavad reaalarvude paarid, mille arvude vahe absoluutväärtus on võrdne).

Matemaatilises kõnepruugis sageli samastatakse reaalarvud arvsirge punktidega ning reaalarvude hulgast koos loomuliku järjestusega kõneldakse kui reaalsirgest.

Arvsirge konstrueerimine

Arvsirge saamiseks valime kõigepealt algpunkti $O$ , mis on arvu 0 kujutis, ning suuna (positiivse suuna), mis vastab arvude kasvamise suunale. Tavaliselt joonestatakse arvsirge horisontaalsena ning suurematele arvudele seatakse vastavusse parempoolsemad punktid. Kui sirge on kujutatud vertikaalsena, siis on suuremate arvude kujutised tavaliselt kõrgemal. Joonisel saab kujutada ainult osa sirgest; tavaliselt joonistatakse sirge katkestuskohale, mille suunas arvud kasvavad, noolepea, mis on suunatud arvude kasvamise suunas.

Mis tahes punktile arvsirgel vastab parajasti üks reaalarv ning ümberpöördult: igale reaalarvule $r$ vastab parajasti üks punkt $P$ arvteljel, nii et vektor $OP$ on suunatud positiivses suunas, kui $r>0$ , vastassuunas, kui $r<0$ , ja see punkt on $O$ , kui $r=0$ ; ning vektori pikkus on absoluutväärtus $|r|$ . Selle, et igale reaalarvule vastab mingi punkt arvsirgel, tagab pidevuse aksioom tänapäeva geomeetria aksiomaatikas.

Et saada tavaline arvsirge ehk lineaarne arvsirge, kanname sirgele valitud võrdsetel kaugustel negatiivsed vasakule). Sellega on valitud arvsirge skaala (ühiklõik). Joonisel markeeritakse tavaliselt ainult täisarvudele vastavad punktid. Täisarvude vahelised vahemikud täidame ülejäänud reaalarvudega.

Arvsirge näitlikustab ühemõõtmelist eukleidilist ruumi. Arvude järjestusele vastab punktide loomulik järjestus sirgel.

Arvsirge joonise rakendused

Arvsirget kasutatakse sageli kõigi reaalarvude hulga $\mathbb {R}$ kujutamiseks ja funktsioonide graafikute joonestamiseks. Arvsirge lõikudena kujutatakse intervalle. Arvsirget kasutatakse ka liitmise ja lahutamise õpetamisel, eriti tehete puhul negatiivsete arvudega. Samuti kasutatakse arvsirget võrratussüsteemide lahendamisel ning tehete puhul reaalarvude hulga alamhulkadega.

Ajalugu

Arvsirge kasutuselevõtjaks peetakse inglise matemaatikut John Wallist.

Arvsirge laiendused

Kui lisada sirgele otspunktid +∞ ja -∞, saame laiendatud arvsirge.

Kui lisame arvsirgele tasandil ristuva sirge, saame konstrueerida komplekstasandi, mille puhul tasandiga seatakse üksühesesse vastavusse kompleksarvude hulk. Arvsirge on sellisel juhul komplekstasandi reaaltelg.

Arvsirge modifikatsioonid

Eksponentsiaalse arvsirge ehk logaritmilise skaalaga arvsirge puhul vastavad etteantud kaugusele punktide vahel ühesugused proportsioonid arvude vahel. Eksponentsiaalsel arvsirgel on kujutatud ainult positiivsed reaalarvud.

Saab konstrueerida ka teistsuguseid arvsirgeid.

Arvkiir

Arvkiirel on kujutatud ainult mittenegatiivsed arvud.

Vaata ka

Viited

↑ Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)

Välislingid

Arvsirge saidil matemaatika.edu.ee

[1] Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)

[1]

@@ 18. rida: / 18. rida: @@
 ==Arvsirge joonise rakendused==
 Arvsirget kasutatakse sageli [[reaalarvude hulk|kõigi reaalarvude hulga]] <math>\mathbb{R}</math> kujutamiseks ja [[funktsioon (matemaatika)|funktsioon]]ide [[graafik]]ute joonestamiseks. Arvsirge [[lõik]]udena kujutatakse [[intervall (matemaatika)|intervall]]e. Arvsirget kasutatakse ka [[liitmine|liitmise]] ja [[lahutamine|lahutamise]] õpetamisel, eriti tehete puhul [[negatiivne arv|negatiivsete arvudega]]. Samuti kasutatakse arvsirget [[võrratussüsteem]]ide lahendamisel ning tehete puhul reaalarvude hulga [[alamhulk]]adega.
-==Arvsirge kui reaalarvude ruum==
-Arvsirge punktid sageli samastatakse reaalarvudega. Seetõttu saab arvsirget vaadelda sirgena, mille punktid on reaalarvud. Arvsirge on siis   [[reaalarvude hulk|kõigi reaalarvude hulk]]  <math>R</math> kui [[ruum (matemaatika)|ruum]], nimelt [[ühemõõtmeline eukleidiline ruum]]. Seda ruumi saab vaadelda [[vektorruum]]ina, [[afiinne ruum|afiinse ruumina]], [[meetriline ruum|meetrilise ruumina]], [[topoloogiline ruum|topoloogilise ruumina]], [[mõõdu ruum]]ina või [[lineaarne kontiinuum|lineaarse kontiinuum]]ina.
-Nagu ka reaalarvude hulka, tähistatakse reaalsirget tavaliselt sümboliga <math>R</math> või <math> \mathbb{R} </math>.  Mõnikord kasutatakse ka tähist '''R<sup>1</sup>''', et näidata, et tegu on ühemõõtmelise eukleidilise ruumiga.
-===Lineaarse kontiinuumina===
-Reaalsirge on tavalise [[järjestus]]e < suhtes [[lineaarne kontiinuum]]: ta on [[lineaarne järjestus|lineaarselt järjestatud]] ning see järjestus on [[tihe järjestus|tihe]] ja tal on [[supreemumiomadus]].
-Reaalsirgel ei ole [[maksimaalne element|maksimaalseid]] ega [[minimaalne element|minimaalseid elemente]]. Tal on [[loenduv hulk|loenduv]] [[tihe hulk|tihe]] [[alamhulk]], nimelt [[ratsionaalarvude hulk]]. On tõestatud, et mis tahes lineaarne kontiinuum, millel leidub loenduv tihe alamhulk ja ei leidu maksimaalseid ega minimaalseid elemente, on [[järjestusisomorfsus|järjestusisomorfne]] reaalsirgega.
-Reaalsirge rahuldab ka [[loenduva ahela tingimus]]t: iga [[paarikaupa ühisosata hulgad|paarikaupa ühisosata]] [[mittetühi hulk|mittetühjade]] [[lahtine intervall|lahtiste intervallide]] [[kogum]] reaalsirgel on [[loenduv|loenduv]]. [[Järjestusteooria]]s küsib kuulus [[Suslini probleem]], kas iga lineaarne kontiinuum, mis rahuldab loenduva ahela tingimust ning millel pole maksimaalseid ega minimaalseid elemente, on reaalsirgega järjestusisomorfne.  On osutunud, et see väide on [[valikuaksioomiga Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika]]st sõltumatu.
-===Meetrilise ruumina===
-[[Pilt:Absolute difference.svg|pisi|300px|[[Meetrika]] reaalsirgel on [[absoluutvahe]] ehk [[vahe]] [[absoluutväärtus]].]]
-Reaalsirge moodustab [[meetriline ruum|meetrilise ruumi]], mille meetrika annab [[absoluutvahe]] ehk [[vahe]] [[absoluutväärtus]]:
-:''d''(''x'', ''y'')  =  {{!}}'' x'' − ''y'' {{!}}.
-Kui ''p'' ∈ '''R''' ja ''ε'' > 0, siis
-''ε''-[[kera]] ruumis <math>R</math> keskpunktiga <math>p</math> on lihtsalt [[vahemik]] (''p'' − ''ε'', ''p'' + ''ε'').
-Reaalsirgel kui meetrilisel ruumil on mitu tähtsat omadust:
-* Reaalsirge on [[täielik meetriline ruum]]: iga punktide [[Cauchy jada]] [[koonduv jada|koondub]].
-* Reaalsirge on [[lineaarselt sidus ruum|lineaarselt sidus]] ning on  [[geodeetiline meetriline ruum|geodeetilise meetrilise ruumi]] üks lihtsamaid näiteid.
-* Reaalsirge [[Hausdorffi mõõde]] on 1.
-* Reaalsirge [[isomeetriarühm]] ehk [[eukleidiline rühm]] <math>E(1)</math> koosneb kõigist funktsioonidest kujuga ''x'' ↦ ''t'' ± ''x'', kus <math>t</math> on reaalarv. See rühm on [[rühmade isomorfsus|isomorfne]] [[aditiivne rühm|aditiivse rühma]] <math>R</math> ning 2. järku [[tsükliline rühm|tsüklilise rühma]]  [[poolotsekorrutis]]ega ning on [[üldistatud diedraalne rühm|üldistatud diedraalse rühma]] näide.
-===Topoloogilise ruumina===
-[[Pilt:Real projective line.svg|pisi|Realsirge saab [[lõpmata kauge punkt]]i lisamise teel [[kompaktifikatsioon|kompaktifitseerida]].]]
-Reaalsirgel on loomulik [[topoloogia (hulk)|topoloogia]], mille saab defineerida kahel moel.
-Esiteks, kuna [[reaalarvude hulk]] on loomulikul viisil [[täielikult järjestatud hulk]], on tal loomulik [[järjestustopoloogia]]. Teiseks, kuna reaalarvude hulk on loomulikul moel [[meetriline ruum]], on neil loomulik [[meetriline topoloogia]]. See järjestustopoloogia ja see meetriline topoloogia langevad kokku. [[Topoloogiline ruum|Topoloogilise ruumina]] on reaalsirge [[homöomorfsus|homöomorfne]] [[vahemik]]uga (0, 1).
-Reaalsirge on triviaalsel moel [[topoloogiline muutkond]], mille [[mõõde]] on 1. Ta on homöomorfismi täpsusega üks kahest erinevast  [[rajata muutkond|rajata]] [[1-muutkond|1-muutkonnast]] (teine on [[ringjoon]]).
-Tal on ka loomulik [[diferentseeruv struktuur]], millega ta on [[diferentseeruv muutkond]]. [[Difeomorfism]]i täpsusega võimaldab reaalsirge loomulik topoloogia ainult ühte diferentseeruvat struktuuri.
-Reaalsirge on [[lokaalselt kompaktne ruum|lokaalselt kompaktne]] ja [[parakompaktne ruum|parakompaktne]], samuti [[loenduva baasiga ruum|loenduva baasiga]] ja [[normaalne ruum|normaalne]].
-Ta on ka [[lineaarselt sidus ruum|lineaarselt sidus]] ning seetõttu ka [[sidus ruum|sidus]], kuigi teda saab muuta mittesidusaks ühe punkti eemaldamisega. Reaalsirge on ka [[kokkutõmmatav ruum|kokkutõmmatav]], nii et kõik tema [[homotoopiarühm]]ad ja [[redutseeritud homoloogia]] rühmad on 0.
-Reaalsirge on [[lokaalselt kompaktne ruum]], mida saab mitut moodi kompaktifitseerida. Selle [[ühepunktiline kompaktifikatsioon]] on [[ringjoon]] (nimelt [[projektiivne reaalsirge]]) ning lisapunkti võib vaadelda [[märgita lõpmatus]]ena. Teise võimalusena saab reaalsirgele lisada kaks [[ots]]a, nii et saadakse [[laiendatud reaalsirge]] [−∞, +∞].  On ka [[Stone'i–Čechi kompaktifikatsioon]], mille puhul lisatakse lõpmata palju punkte.
-Mõnel juhul on otstarbekas anda reaalsirgele mitteloomulikke topoloogiaid, näiteks [[alumise piirväärtuse topoloogia]] ja [[Zariski topoloogia]]. Reaalsirge puhul langeb viimane kokku [[kolõplik topoloogia|kolõpliku topoloogiaga]].
-===Vektorruumina===
-Reaalsirge on ühemõõtmeline [[vektorruum]] üle [[reaalarvude korpus]]e '''R''' (üle iseenda). Tal on loomulik [[skalaarkorrutis]] (reaalarvude [[korrutis]]), nii et tekib [[eukleidiline ruum]]. Loomulik [[norm (matemaatika)|norm]] on [[absoluutväärtus]].
-===Mõõdu ruumina===
-Reaalsirge kanooniline [[mõõt]] on [[Lebesgue'i mõõt]], mis on [[Boreli mõõt|Boreli mõõdu]] vähim [[täielik mõõt|täielik]] laiend. Iga [[intervall (matemaatika)|intervall]]i täielik mõõt on selle [[pikkus (matemaatika)|pikkus]].
-Reaalsirge Lebesgue'i mõõt on üks lihtsamaid näiteid [[Haari mõõt|Haari mõõdust]] [[lokaalselt kompaktne rühm|lokaalselt kompaktsel rühmal]].
 ==Ajalugu==