Arvtelg: erinevus redaktsioonide vahel

Allikas: Vikipeedia
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
102. rida: 102. rida:
* [[Suslini sirge]]
* [[Suslini sirge]]
* [[Projektiivne reaalsirge]]
* [[Projektiivne reaalsirge]]

== Viited ==
{{viited}}

==Välislingid==
*[http://matemaatika.edu.ee/sisu/0015/index.html Arvsirge saidil matemaatika.edu.ee]


[[Kategooria:Elementaarmatemaatika]]

Redaktsioon: 16. juuni 2012, kell 13:19

Arvtelg, millele on kantud naturaalarvude alus e, arv π ja ruutjuur kahest .
Kuigi joonisel on näha ainult täisarvud –9-st kuni 9-ni, kujutab arvsirge kõiki reaalarve nii täisarvude vahel kui ka lõputult mõlemal pool joonise raame.
Siin on täisarvudele vastavad punktid markeeritud põikilõikudega.

Arvtelg ehk arvsirge ehk reaalsirge on reaalarvude kujutamiseks kasutatav sirge, millel on fikseeritud arvu null kujutis ja arvu üks kujutis.[1] Sellega on ühtlasi fikseeritud ka kõikide teiste reaalarvude kujutised (punktipaaridele, mille punktide kaugus on võrdne, vastavad reaalarvude paarid, mille arvude vahe absoluutväärtus on võrdne).

Arvsirge konstrueerimine

Arvsirge saamiseks valime kõigepealt algpunkti , mis on arvu 0 kujutis, ning suuna (positiivse suuna), mis vastab arvude kasvamise suunale. Tavaliselt joonestatakse arvsirge horisontaalsena ning suurematele arvudele seatakse vastavusse parempoolsemad punktid. Kui sirge on kujutatud vertikaalsena, siis on suuremate arvude kujutised tavaliselt kõrgemal. Joonisel saab kujutada ainult osa sirgest; tavaliselt joonistatakse sirge katkestuskohale, mille suunas arvud kasvavad, noolepea, mis on suunatud arvude kasvamise suunas.

Mis tahes punktile arvsirgel vastab parajasti üks reaalarv ning ümberpöördult: igale reaalarvule vastab parajasti üks punkt arvteljel, nii et vektor on suunatud positiivses suunas, kui , vastassuunas, kui , ja see punkt on , kui ; ning vektori pikkus on absoluutväärtus . Selle, et igale reaalarvule vastab mingi punkt arvsirgel, tagab pidevuse aksioom tänapäeva geomeetria aksiomaatikas.

Et saada tavaline arvsirge ehk lineaarne arvsirge, kanname sirgele valitud võrdsetel kaugustel negatiivsed vasakule). Sellega on valitud arvsirge skaala (ühiklõik). Joonisel markeeritakse tavaliselt ainult täisarvudele vastavad punktid. Täisarvude vahelised vahemikud täidame ülejäänud reaalarvudega.

Arvsirge näitlikustab ühemõõtmelist eukleidilist ruumi. Arvude järjestusele vastab punktide loomulik järjestus sirgel.

Arvsirge joonise rakendused

Arvsirget kasutatakse sageli kõigi reaalarvude hulga kujutamiseks ja funktsioonide graafikute joonestamiseks. Arvsirge lõikudena kujutatakse intervalle. Arvsirget kasutatakse ka liitmise ja lahutamise õpetamisel, eriti tehete puhul negatiivsete arvudega. Samuti kasutatakse arvsirget võrratussüsteemide lahendamisel ning tehete puhul reaalarvude hulga alamhulkadega.

Arvsirge kui reaalarvude ruum

Arvsirge punktid sageli samastatakse reaalarvudega. Seetõttu saab arvsirget vaadelda sirgena, mille punktid on reaalarvud. Arvsirge on siis kõigi reaalarvude hulk kui ruum, nimelt ühemõõtmeline eukleidiline ruum. Seda ruumi saab vaadelda vektorruumina, afiinse ruumina, meetrilise ruumina, topoloogilise ruumina, mõõdu ruumina või lineaarse kontiinuumina.

Nagu ka reaalarvude hulka, tähistatakse reaalsirget tavaliselt sümboliga või . Mõnikord kasutatakse ka tähist R1, et näidata, et tegu on ühemõõtmelise eukleidilise ruumiga.

Lineaarse kontiinuumina

Reaalsirge on tavalise järjestuse < suhtes lineaarne kontiinuum: ta on lineaarselt järjestatud ning see järjestus on tihe ja tal on supreemumiomadus.

Reaalsirgel ei ole maksimaalseid ega minimaalseid elemente. Tal on loenduv tihe alamhulk, nimelt ratsionaalarvude hulk. On tõestatud, et mis tahes lineaarne kontiinuum, millel leidub loenduv tihe alamhulk ja ei leidu maksimaalseid ega minimaalseid elemente, on järjestusisomorfne reaalsirgega.

Reaalsirge rahuldab ka loenduva ahela tingimust: iga paarikaupa ühisosata mittetühjade lahtiste intervallide kogum reaalsirgel on loenduv. Järjestusteoorias küsib kuulus Suslini probleem, kas iga lineaarne kontiinuum, mis rahuldab loenduva ahela tingimust ning millel pole maksimaalseid ega minimaalseid elemente, on reaalsirgega järjestusisomorfne. On osutunud, et see väide on valikuaksioomiga Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikast sõltumatu.

Meetrilise ruumina

Meetrika reaalsirgel on absoluutvahe ehk vahe absoluutväärtus.

Reaalsirge moodustab meetrilise ruumi, mille meetrika annab absoluutvahe ehk vahe absoluutväärtus:

d(x, y)  =  | xy |.

Kui pR ja ε > 0, siis ε-kera ruumis keskpunktiga on lihtsalt vahemik (pε, p + ε).

Reaalsirgel kui meetrilisel ruumil on mitu tähtsat omadust:

Topoloogilise ruumina

Realsirge saab lõpmata kauge punkti lisamise teel kompaktifitseerida.

Reaalsirgel on loomulik topoloogia, mille saab defineerida kahel moel.

Esiteks, kuna reaalarvude hulk on loomulikul viisil täielikult järjestatud hulk, on tal loomulik järjestustopoloogia. Teiseks, kuna reaalarvude hulk on loomulikul moel meetriline ruum, on neil loomulik meetriline topoloogia. See järjestustopoloogia ja see meetriline topoloogia langevad kokku. Topoloogilise ruumina on reaalsirge homöomorfne vahemikuga (0, 1).

Reaalsirge on triviaalsel moel topoloogiline muutkond, mille mõõde on 1. Ta on homöomorfismi täpsusega üks kahest erinevast rajata 1-muutkonnast (teine on ringjoon).

Tal on ka loomulik diferentseeruv struktuur, millega ta on diferentseeruv muutkond. Difeomorfismi täpsusega võimaldab reaalsirge loomulik topoloogia ainult ühte diferentseeruvat struktuuri.

Reaalsirge on lokaalselt kompaktne ja parakompaktne, samuti loenduva baasiga ja normaalne.

Ta on ka lineaarselt sidus ning seetõttu ka sidus, kuigi teda saab muuta mittesidusaks ühe punkti eemaldamisega. Reaalsirge on ka kokkutõmmatav, nii et kõik tema homotoopiarühmad ja redutseeritud homoloogia rühmad on 0.

Reaalsirge on lokaalselt kompaktne ruum, mida saab mitut moodi kompaktifitseerida. Selle ühepunktiline kompaktifikatsioon on ringjoon (nimelt projektiivne reaalsirge) ning lisapunkti võib vaadelda märgita lõpmatusena. Teise võimalusena saab reaalsirgele lisada kaks otsa, nii et saadakse laiendatud reaalsirge [−∞, +∞]. On ka Stone'i–Čechi kompaktifikatsioon, mille puhul lisatakse lõpmata palju punkte.

Mõnel juhul on otstarbekas anda reaalsirgele mitteloomulikke topoloogiaid, näiteks alumise piirväärtuse topoloogia ja Zariski topoloogia. Reaalsirge puhul langeb viimane kokku kolõpliku topoloogiaga.

Vektorruumina

Reaalsirge on ühemõõtmeline vektorruum üle reaalarvude korpuse R (üle iseenda). Tal on loomulik skalaarkorrutis (reaalarvude korrutis), nii et tekib eukleidiline ruum. Loomulik norm on absoluutväärtus.

Mõõdu ruumina

Reaalsirge kanooniline mõõt on Lebesgue'i mõõt, mis on Boreli mõõdu vähim täielik laiend. Iga intervalli täielik mõõt on selle pikkus.

Reaalsirge Lebesgue'i mõõt on üks lihtsamaid näiteid Haari mõõdust lokaalselt kompaktsel rühmal.

Ajalugu

Arvsirge kasutuselevõtjaks peetakse inglise matemaatikut John Wallist.

Arvsirge laiendused

Kui lisada sirgele otspunktid +∞ ja -∞, saame laiendatud arvsirge.

Kui lisame arvsirgele tasandil ristuva sirge, saame konstrueerida komplekstasandi, mille puhul tasandiga seatakse üksühesesse vastavusse kompleksarvude hulk. Arvsirge on sellisel juhul komplekstasandi reaaltelg.

Arvsirge modifikatsioonid

Eksponentsiaalse arvsirge ehk logaritmilise skaalaga arvsirge puhul vastavad etteantud kaugusele punktide vahel ühesugused proportsioonid arvude vahel. Eksponentsiaalsel arvsirgel on kujutatud ainult positiivsed reaalarvud.

Saab konstrueerida ka teistsuguseid arvsirgeid.

Arvkiir

Arvkiirel on kujutatud ainult mittenegatiivsed arvud.

Vaata ka

Viited

  1. Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)

Välislingid