Arvtelg

Arvtelg, millele on kantud naturaalarvude alus e, arv π ja ruutjuur kahest ${\sqrt {2}}$.

Kuigi joonisel on näha ainult täisarvud –9-st kuni 9-ni, kujutab arvsirge kõiki reaalarve nii täisarvude vahel kui ka lõputult mõlemal pool joonise raame.

Siin on täisarvudele vastavad punktid markeeritud põikilõikudega.

Arvtelg ehk arvsirge ehk reaalsirge on reaalarvude kujutamiseks kasutatav sirge, millel on fikseeritud arvu null kujutis ja arvu üks kujutis. Sellega on ühtlasi fikseeritud ka kõikide teiste reaalarvude kujutised (punktipaaridele, mille punktide kaugus on võrdne, vastavad reaalarvude paarid, mille arvude vahe absoluutväärtus on võrdne).

Meetrilise ruumina

Meetrika reaalsirgel on absoluutvahe ehk vahe absoluutväärtus.

Reaalsirge moodustab meetrilise ruumi, mille meetrika annab absoluutvahe ehk vahe absoluutväärtus:

d(x, y)  =  | x − y |.

Kui p ∈ R ja ε > 0, siis ε-kera ruumis $R$ keskpunktiga $p$ on lihtsalt vahemik (p − ε, p + ε).

Reaalsirgel kui meetrilisel ruumil on mitu tähtsat omadust:

• Reaalsirge on täielik meetriline ruum: iga punktide Cauchy jada koondub.
• Reaalsirge on lineaarselt sidus ning on geodeetilise meetrilise ruumi üks lihtsamaid näiteid.
• Reaalsirge Hausdorffi mõõde on 1.
• Reaalsirge isomeetriarühm ehk eukleidiline rühm $E(1)$ koosneb kõigist funktsioonidest kujuga x ↦ t ± x, kus $t$ on reaalarv. See rühm on isomorfne aditiivse rühma $R$ ning 2. järku tsüklilise rühma poolotsekorrutisega ning on üldistatud diedraalse rühma näide.

Topoloogilise ruumina

Realsirge saab lõpmata kauge punkti lisamise teel kompaktifitseerida.

Reaalsirgel on loomulik topoloogia, mille saab defineerida kahel moel.

Esiteks, kuna reaalarvude hulk on loomulikul viisil täielikult järjestatud hulk, on tal loomulik järjestustopoloogia. Teiseks, kuna reaalarvude hulk on loomulikul moel meetriline ruum, on neil loomulik meetriline topoloogia. See järjestustopoloogia ja see meetriline topoloogia langevad kokku. Topoloogilise ruumina on reaalsirge homöomorfne vahemikuga (0, 1).

Reaalsirge on triviaalsel moel topoloogiline muutkond, mille mõõde on 1. Ta on homöomorfismi täpsusega üks kahest erinevast rajata 1-muutkonnast (teine on ringjoon).

Tal on ka loomulik diferentseeruv struktuur, millega ta on diferentseeruv muutkond. Difeomorfismi täpsusega võimaldab reaalsirge loomulik topoloogia ainult ühte diferentseeruvat struktuuri.

Reaalsirge on lokaalselt kompaktne ja parakompaktne, samuti loenduva baasiga ja normaalne.

Ta on ka lineaarselt sidus ning seetõttu ka sidus, kuigi teda saab muuta mittesidusaks ühe punkti eemaldamisega. Reaalsirge on ka kokkutõmmatav, nii et kõik tema homotoopiarühmad ja redutseeritud homoloogia rühmad on 0.

Reaalsirge on lokaalselt kompaktne ruum, mida saab mitut moodi kompaktifitseerida. Selle ühepunktiline kompaktifikatsioon on ringjoon (nimelt projektiivne reaalsirge) ning lisapunkti võib vaadelda märgita lõpmatusena. Teise võimalusena saab reaalsirgele lisada kaks otsa, nii et saadakse laiendatud reaalsirge [−∞, +∞]. On ka Stone'i–Čechi kompaktifikatsioon, mille puhul lisatakse lõpmata palju punkte.

Mõnel juhul on otstarbekas anda reaalsirgele mitteloomulikke topoloogiaid, näiteks alumise piirväärtuse topoloogia ja Zariski topoloogia. Reaalsirge puhul langeb viimane kokku kolõpliku topoloogiaga.

Vektorruumina

Reaalsirge on ühemõõtmeline vektorruum üle reaalarvude korpuse R (üle iseenda). Tal on loomulik skalaarkorrutis (reaalarvude korrutis), nii et tekib eukleidiline ruum. Loomulik norm on absoluutväärtus.

Mõõdu ruumina

Reaalsirge kanooniline mõõt on Lebesgue'i mõõt, mis on Boreli mõõdu vähim täielik laiend. Iga intervalli täielik mõõt on selle pikkus.

Reaalsirge Lebesgue'i mõõt on üks lihtsamaid näiteid Haari mõõdust lokaalselt kompaktsel rühmal.