Arvtelg: erinevus redaktsioonide vahel

Eemaldatud sisu Lisatud sisu

Reasisene

Redaktsioon: 16. juuni 2012, kell 01:51

Kuigi joonisel on näha ainult täisarvud –9-st kuni 9-ni, kujutab arvsirge kõiki reaalarve nii täisarvude vahel kui ka lõputult mõlemal pool joonise raame.

Siin on täisarvudele vastavad punktid markeeritud põikilõikudega.

Arvtelg ehk arvsirge ehk reaalsirge on reaalarvude kujutamiseks kasutatav sirge, millel on fikseeritud arvu null kujutis ja arvu üks kujutis.^[1] Sellega on ühtlasi fikseeritud ka kõikide teiste reaalarvude kujutised (punktipaaridele, mille punktide kaugus on võrdne, vastavad reaalarvude paarid, mille arvude vahe absoluutväärtus on võrdne).

Arvsirge konstrueerimine

Arvsirge saamiseks valime kõigepealt algpunkti $O$ , mis on arvu 0 kujutis, ning suuna (positiivse suuna), mis vastab arvude kasvamise suunale. Tavaliselt joonestatakse arvsirge horisontaalsena ning suurematele arvudele seatakse vastavusse parempoolsemad punktid. Kui sirge on kujutatud vertikaalsena, siis on suuremate arvude kujutised tavaliselt kõrgemal. Joonisel saab kujutada ainult osa sirgest; tavaliselt joonistatakse sirge katkestuskohale, mille suunas arvud kasvavad, noolepea, mis on suunatud arvude kasvamise suunas.

Et saada tavaline arvsirge ehk lineaarne arvsirge, kanname sirgele valitud võrdsetel kaugustel täisarvud (positiivsed paremale, negatiivsed vasakule). Sellega on valitud arvsirge skaala. Joonisel markeeritakse tavaliselt ainult täisarvudele vastavad punktid. Täisarvude vahelised vahemikud täidame ülejäänud reaalarvudega.

Mis tahes punktile arvsirgel vastab parajasti üks reaalarv ning ümberpöördult: igale reaalarvule $r$ vastab parajasti üks punkt $P$ arvteljel, nii et vektor $OP$ on suunatud positiivses suunas, kui $r>0$ , vastassuunas, kui $r<0$ , ja see punkt on $O$ , kui $r=0$ ; ning vektori pikkus on absoluutväärtus $|r|$ . Selle, et igale reaalarvule vastab mingi punkt arvsirgel, tagab pidevuse aksioom tänapäeva geomeetria aksiomaatikas.

Arvsirge näitlikustab ühemõõtmelist eukleidilist ruumi. Arvude järjestusele vastab punktide loomulik järjestus sirgel.

Arvsirget kasutatakse sageli kõigi reaalarvude hulga $\mathbb {R}$ kujutamiseks ja funktsioonide graafikute joonestamiseks. Arvsirge lõikudena kujutatakse intervalle. Arvsirget kasutatakse ka liitmise ja lahutamise õpetamisel, eriti tehete puhul negatiivsete arvudega. Samuti kasutatakse arvsirget võrratussüsteemide lahendamisel ning tehete puhul reaalarvude hulga alamhulkadega.

Arvsirge kui ruum

Arvsirge punktid sageli samastatakse reaalarvudega. Seetõttu saab arvsirget vaadelda sirgena, mille punktid on reaalarvud. Arvsirge on siis kõigi reaalarvude hulk $R$ kui ruum, nimelt ühemõõtmeline eukleidiline ruum. Seda ruumi saab vaadelda vektorruumina, afiinse ruumina, meetrilise ruumina, topoloogilise ruumina, mõõdu ruumina või lineaarse kontiinuumina.

Nagu ka reaalarvude hulka, tähistatakse reaalsirget tavaliselt sümboliga $R$ või $\mathbb {R}$ . Mõnikord kasutatakse ka tähist R¹, et näidata, et tegu on esimese eukleidilise ruumiga.

Lineaarse kontiinuumina

Reaalsirge on tavalise järjestuse < suhtes lineaarne kontiinuum: ta on lineaarselt järjestatud ning see järjestus on tihe ja tal on supreemumiomadus.

Reaalsirgel ei ole maksimaalseid ega minimaalseid elemente. Tal on loenduv tihe alamhulk, nimelt ratsionaalarvude hulk. On tõestatud, et mis tahes lineaarne kontiinuum, millel leidub loenduv tihe alamhulk ja ei leidu maksimaalseid ega minimaalseid elemente, on järjestusisomorfne reaalsirgega.

Reaalsirge rahuldab ka loenduva ahela tingimust: iga paarikaupa ühisosata mittetühjade lahtiste intervallide kogum reaalsirgel on loenduv. Järjestusteoorias küsib kuulus Suslini probleem, kas iga lineaarne kontiinuum, mis rahuldab loenduva ahela tingimust ning millel pole maksimaalseid ega minimaalseid elemente, on reaalsirgega järjestusisomorfne. On osutunud, et see väide on valikuaksioomiga Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikast sõltumatu.

Meetrilise ruumina

Reaalsirge moodustab meetrilise ruumi, mille meetrika annab absoluutvahe ehk vahe absoluutväärtus:

Liigendamine ebaõnnestus (Süntaksiviga): {\displaystyle d(x, y) {{=}} {{!}} x − y {{!}} } .

Kui Liigendamine ebaõnnestus (Süntaksiviga): {\displaystyle p ∈ R} ja Liigendamine ebaõnnestus (Süntaksiviga): {\displaystyle ε > 0} , siis {{math|ε</math>-kera ruumis $R$ keskpunktiga $p$ on lihtsalt vahemik Liigendamine ebaõnnestus (Süntaksiviga): {\displaystyle (p − ε, p + ε)} .

Reaalsirgel kui meetrilisel ruumil on mitu tähtsat omadust:

Reaalsirge on täielik meetriline ruum: iga punktide Cauchy jada koondub.
Reaalsirge on lineaarselt sidus ning on geodeetilise meetrilise ruumi üks lihtsamaid näiteid.
Reaalsirge Hausdorffi mõõde on 1.
Reaalsirge isomeetriarühm ehk eukleidiline rühm $E(1)$ koosneb kõigist funktsioonidest kujuga Liigendamine ebaõnnestus (Süntaksiviga): {\displaystyle x ↦ t ± x} , kus $t$ on reaalarv. See rühm on isomorfne aditiivse rühma $R$ ning 2. järku tsüklilise rühma poolotsekorrutisega ning on üldistatud diedraalse rühma näide.

Ajalugu

Arvsirge kasutuselevõtjaks peetakse inglise matemaatikut John Wallist.

Arvsirge laiendused

Kui lisada sirgele otspunktid +∞ ja -∞, saame laiendatud arvsirge.

Kui lisame arvsirgele tasandil ristuva sirge, saame konstrueerida komplekstasandi, mille puhul tasandiga seatakse üksühesesse vastavusse kompleksarvude hulk. Arvsirge on sellisel juhul komplekstasandi reaaltelg.

Arvsirge modifikatsioonid

Eksponentsiaalse arvsirge ehk logaritmilise skaalaga arvsirge puhul vastavad etteantud kaugusele punktide vahel ühesugused proportsioonid arvude vahel. Eksponentsiaalsel arvsirgel on kujutatud ainult positiivsed reaalarvud.

Saab konstrueerida ka teistsuguseid arvsirgeid.

Arvkiir

Arvkiirel on kujutatud ainult mittenegatiivsed arvud.

Vaata ka

Viited

↑ Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)

Välislingid

Arvsirge saidil matemaatika.edu.ee

[1] Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)

[1]

@@ 30. rida: / 30. rida: @@
 [[Pilt:Absolute difference.svg|pisi|300px|[[Meetrika]] reaalsirgel on [[absoluutvahe]] ehk [[vahe]] [[absoluutväärtus]].]]
 Reaalsirge moodustab [[meetriline ruum|meetrilise ruumi]], mille meetrika annab [[absoluutvahe]] ehk [[vahe]] [[absoluutväärtus]]:
-:<math>''d''(''x'', ''y'')  {{=}}  {{!}} ''x'' − ''y'' {{!}} </math>.
+:<math>d(x, y)  {{=}}  {{!}} x − y {{!}} </math>.
-Kui <math>''p'' ∈ '''R'''</math> ja <math>''ε'' > 0</math>, siis
+Kui <math>p ∈ R</math> ja <math>ε > 0</math>, siis
-{{math|''ε''</math>-[[kera]] ruumis <math>'''R'''</math> keskpunktiga <math>''p''</math> on lihtsalt [[vahemik]] <math>(''p'' − ''ε'', ''p'' + ''ε'')</math>.
+{{math|ε</math>-[[kera]] ruumis <math>R</math> keskpunktiga <math>p</math> on lihtsalt [[vahemik]] <math>(p − ε, p + ε)</math>.
 Reaalsirgel kui meetrilisel ruumil on mitu tähtsat omadust:
@@ 38. rida: / 38. rida: @@
 * Reaalsirge on [[lineaarselt sidus ruum|lineaarselt sidus]] ning on  [[geodeetiline meetriline ruum|geodeetilise meetrilise ruumi]] üks lihtsamaid näiteid.
 * Reaalsirge [[Hausdorffi mõõde]] on 1.
-* Reaalsirge [[isomeetriarühm]] ehk [[eukleidiline rühm]] <math>''E''(1)</math> koosneb kõigist funktsioonidest kujuga <math>''x'' ↦ ''t'' ± ''x''</math>, kus <math>''t''</math> on reaalarv. See rühm on [[rühmade isomorfsus|isomorfne]] [[aditiivne rühm|aditiivse rühma]] <math>'''R'''</math> ning 2. järku [[tsükliline rühm|tsüklilise rühma]]  [[poolotsekorrutis]]ega ning on [[üldistatud diedraalne rühm|üldistatud diedraalse rühma]] näide.
+* Reaalsirge [[isomeetriarühm]] ehk [[eukleidiline rühm]] <math>E(1)</math> koosneb kõigist funktsioonidest kujuga <math>x ↦ t ± x</math>, kus <math>t</math> on reaalarv. See rühm on [[rühmade isomorfsus|isomorfne]] [[aditiivne rühm|aditiivse rühma]] <math>R</math> ning 2. järku [[tsükliline rühm|tsüklilise rühma]]  [[poolotsekorrutis]]ega ning on [[üldistatud diedraalne rühm|üldistatud diedraalse rühma]] näide.
 ==Ajalugu==