Isomorfism: erinevus redaktsioonide vahel

Allikas: Vikipeedia
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
58. rida: 58. rida:


Graafide isomorfism on [[ekvivalentsus|ekvivalentsussuhe]] ning graafe võib [[klassifitseerimine|klassifitseerida]] [[ekvivalentsus|ekvivalentsusklassideks]]. Isomorfsete graafide hulka nimetatakse '''''graafide isomorfismiklassiks'''''.
Graafide isomorfism on [[ekvivalentsus|ekvivalentsussuhe]] ning graafe võib [[klassifitseerimine|klassifitseerida]] [[ekvivalentsus|ekvivalentsusklassideks]]. Isomorfsete graafide hulka nimetatakse '''''graafide isomorfismiklassiks'''''.

==Isomorfismiprobleem==
Isomorfismiprobleemiks nimetatakse ülesannet konstrueerida efektiivne [[algoritm]], mis antud klassi kahe suvalise [[algebra]]lise süsteemi korral selgitab, kas nad on isomorfsed või mitte. Isomorfismiprobleemi on [[rühm|rühmateooria]] seisukohalt käsitlenud C. Hoffman <ref> C. Hoffman. 1982. Group-Theoretic Algorithms and Graph Isomorphism. ''Springer''.</ref> väites, et rühmade „struktuur” sarnanevat isomorfismiprobleemile. Paraku jääb see sarnasus kõrvaltvaatajale raskelt tabatavaks. See probleem on seni lahendamata paljude oluliste algebra klasside puhul.

Eriline roll on isomorfismiprobleemil graafide vallas. Selle põhimõtteline teoreetiline algoritm täiesti olemas – see seisneb graafi ''H'' seosmaatriksi ridade ja nendele vastavate veergude ümberpaigutamises (permuteerimises, ümberjärjestamises, ümbervahetamises) niikaua, kui see ei lange kokku graafi ''G'' seosmaatriksiga. Sellel on üks oluline puudus – see on väga mahukas (keeruline), selle sammude arv läheneb ''n''! (''n''-faktoriaalini). Omal ajal arvati, et 16! permutatsiooni arvutamine võtaks aega kuni 40 aastat.

Hakati otsima teisi teid graafide isomorfismi tuvastamiseks, mis oli aastail 1970-1980 väga populaarne. Näiteks, S. Toida <ref> S. Toida. Isomorphism of graphs. 1973. – ''Proc. 16th Midwest Symp. Circuit Theory, Waterloo, 1973, XVI.'' 5.1-5.7. </ref> pakkus selleks tõsimeeli välja „kauguste maatriksi“. Tõepoolest on graafi kaugustemaatriksid omavahel kergemini eristatavad kui seosmaatriksid. Graafide mitteisomorfismi võib nende abil tuvastada „peaaegu alati“, ka isomorfismi tuvastamine võib vahel korda minna.

Selle perioodi algoritme on kriitiliselt analüüsinud R. C. Read ja D. G. Corneil <ref> Read, R. C., Corneil, D. G., 1977. The graph isomorphism disease. ''J. of Graph Theory, 1 (1977)'', 339-363.</ref> ning G. Gati <ref> Gati, G., 1978. Further annotated bibliography on the isomorphism disease. ''J. of Graph Theory, 3 (1979),'' 95-109. </ref>, kes tituleerisid isomorfismiharrastuse „isomorfismihaiguseks“. Isomorfismiprobleem muutus vahepeal koguni tabuks. Selle probleemi sisulist käsitlemist väldivad oma graafiõpikutes paljud. Näiteks B. Bollobas´i „Modern Graph Theory“<ref> B. Bollobás. Modern Graph Theory. 1998. ''Springer.'' </ref> on isomorfismi-probleemile pühendanud vaid kaks sõna, selles käsitletakse peamiselt „praktilisi“ probleeme nagu vooge võrkudes jne. Siiski tuuakse graafide isomorfismi visuaalne näide ära peaaegu kõikides graafiõpikutes – ja sellega enamasti piirdutaksegi.

Mõned algoritmilist graafiteooriat esitavad oopused, nagu N. Chistofiedese <ref> N. Christofides. 1975. Graph Theory: An algorithmic approach. ''Academic Press, N.Y., London, San Francisco'' </ref> oma, ei sisalda mitte midagi isomorfismiga seonduvat. Kuid tegijaid leidub. Näiteks, seda on lahanud Netšepurenko jt <ref> M. Нечепуренко и др. 1990. Алгоритмы и программы решение задач для графов и сетей. ''Новосибирск''. </ref> ning esitanud ka sellega seotud algoritme ja arvutiprogramme. L. Babai <ref> L. Babai. 1977. On the isomorphism problem. ''Unpublished manuscript'' </ref> leiab selleks Monte-Carlo algoritmi sobiva olevat. G. Tinhofer, M. Lödecke, S. Bauman ja L. Babel <ref> G. Tinhofer, M. Lödecke, S. Baumann, L. Babel. 1997. STABCOL, Graph Isomorphism Testing on the Weisfeiler-Leman Algorithm. </ref> , väidavad, et isomorfismi probleem on lahendatav Weisfeiler-Lehmani algoritmi abil. C. V. Raj ja M. S. Shivakumar loendavad mitmesuguseid spetsiifilisi atribuute selle probleemi lahendamiseks. Tuleb ära märkida G. Kobler´i, H. Schöning´i ja J. Toran´i monogaafiat <ref> G. Kobler, H. Schönig, J. Toran. 1993. The Graph Isomorphism Problem: Its Structural Complexity. </ref>, kus käsitletakse seda ajalise keerukuse aspektist. Ka K. Thulasirman ja M. N. S. Swamy <ref> K. Thulasiraman, M. N. S. Swamy. 1992 Graphs: Theory and Algorithms. ''John Wiley & Sons.'' </ref> ning S. Pemmaraju, S. Sciena <ref> S. Pemmaraju, S. Sciena.2003. Computational Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. ''Cambridge University Press'' </ref> piirduvad isomorfismi puhul vaid keerukuseprobleemi esile toomisega.

Aktuaalne ongi isomorfismiprobleemi käsitlemine [[algoritmiline keerukus|ajalise keerukuse]] (inglise time complexity) seisukohalt. Levinud on arvamus, et see on mitte-polünomiaalne '''NP''' (inglise non-polynomial) ning praeguse aja „ametlik arvamus“ peab parimaks E. Luksi (1983) algoritmi ajalise keerukusega 2<sup>O(√(''n''&nbsp;log&nbsp;''n''))</sup> ''n''-tipulise graafi puhul <ref name="Johnson 2005">{{harvnb|Johnson|2005}}</ref>. Kuid neid on konstrueeritud ja tõestatud ka polünomiaalsetena '''P''' nagu seda on A. Dharwadkeri jt <ref> A. Dharwadker, J.-T. Tevet. 2009. The Graph Isomorphism Algorithm. ''Proc. Institute of Mathematics'', Amazon Books, ISBN 9781466394374 </ref>. oma. Paljudel juhtudel pole see aga tõestatud. Diskussioonid keerukuse teemal kestavad.

Isomorfismi tuvastamise meetodite süstematiseerimine on viinud lihtsa skeemini: a) sorteerimise ja mitte-sorteerimis meetodid; b) lokaalsete ja globaalsete invariantide kasutamise meetodid.

[[Invariant]]idele rajatud meetodid on viinud isomorfismi tuvastamise graafide ''kanoonilise esituse'' tasemele, mis tähendab graafi kujutamist mingil selle struktuuri esitaval kujul, soovitavalt isomorfismi täpsusega. Kanoonilise esituse probleemi püstitas arvatavasti Lazlo Babai <ref> L. Babai. 1983. Canonical labelling of graphs. – ''Proc. 15th ACM Symposium on Theory Computing'' 171-183. </ref> 1977. aastal.

[[Frank Harary]] <ref> Frank Harary. 1969. Graph Theory. ''Addison-Wesley''. </ref> järgi on isomorfismiprobleem lahendatav globaalinvariantide (polünoomid, spektrid jt) täieliku süsteemi baasil. S. Locke (http//:www.math.fau.edu/locke/isotest) leiab, et isomorfismi testimiseks sobivad hästi kahendsüsteemis esitatud ülipikad 3-kuup-koodid. [[Aleksandr Zõkov|A. Zõkov]] <ref> A. Зыков. 1987. Основы теории графов. ''Наука'' </ref> on arvamusel, et see on lahendatav graafi tihedust, tsükleid, klikke jne iseloomustavate lokaalsete invariantide baasil.


==Isomorfismiklassid ja kanooniline esitus==
==Isomorfismiklassid ja kanooniline esitus==

Redaktsioon: 20. november 2011, kell 10:54

 See artikkel räägib filosoofia ja matemaatika mõistest; mineraloogia mõiste kohta vaata artiklit Isomorfism (mineraloogia)

Isomorfism (kreeka: ἴσος isos – ühesugune, ja μορφή morphe – vorm) moodustavad koos homomorfismiga üldmõiste (sh ka filosoofilise kategooria, mis iseloomustab vastavust objektide struktuuride vahel [1] [2].

Mõned spetsiifilise suunitlusega filosoofilised koolkonnad võivad mitte tunnistada nende mõistete kuulumist kategooriate kilda.

Selgitus

Isomorfism tähendab vastavust, kus kaks süsteemi, vaadelduna lahus neid moodustavate elementide loomusest, vastab esimese süsteemi igale elemendile ainult üks teise süsteemi element ning ühe süsteemi igale seosele vastab ainult üks seos teises – ja vastupidi. Seega saab isomorfismist rääkida vaid niisuguste objektide puhul, millel on struktuur, st on määratletud selle elemendid (komponendid, osised) ja nendevahelised seosed (suhted).

Isomorfism on määratletav kui struktuuri säilitav üks-ühene vastavus objektide vahel. Isomorfsete objektide hulk moodustab isomorfismiklassi.

Teadaolevalt võttis isomorfismi termini kasutusele 1857. aastal A. Cayley oma keemiliste isomeeride alastes uuringutes [3]. Kõige piltlikum näide isomorfismist on graafide isomorfism.

Kaks graafi on isomorfsed, st omavad ühesugust struktuuri, vaatamata nende erinavaele „välimusele“.

Graaf G Graaf H Isomorfism
G ja H vahel
ƒ(a) = 1

ƒ(b) = 6

ƒ(c) = 8

ƒ(d) = 3

ƒ(g) = 5

ƒ(h) = 2

ƒ(i) = 4

ƒ(j) = 7

Isomorfism matemaatikas

Matemaatikas defineeritakse isomorfismi kui süsteemi niisugust üks-ühest kujutust sama tüüpi süsteemiks, mille korral säilib süsteemide struktuur. Näiteks, kujund ja selle kujundi matemaatiline avaldis.

Isomorfism on pööratav morfism, millel on pöördmorfism, kus nende korrutis on ühikmorfism. Topoloogilist isomorfismi nimetatakse homoömorfismiks.

Isomorfismiprobleem on aktuaalne algebras, kategooria- ja graafiteoorias.

Algebras on isomorfism kujutus objektide vahel mis näitab suhet kahe omaduse või operatsiooni vahel.  Kui kahe struktuuri vahel esineb isomorfism, siis öeldakse, et vastavad objektid on isomorfsed.  Teatud mõttes on isomorfsed objektid struktuurselt samased, kui muud liiki erinevused on ignoreeritud.  Veelgi formaalsemalt on isomorfism bijektiivne kujutus f niisugune, et f ja selle pöördfunktsioon f −1 on struktuuri säilitavad kujutused kahe algebralise struktuuri vahel, st need mõlemad on homomorfsed. Isomorfism on algebras samalaadselt defineeritud ka rühma, ringi ja teiste struktuuride kohta.

Isomorfism graafiteoorias tähendab graafide G ja H struktuuri säilitavat tippude bijektsiooni

niisugust, et kui graafi G mingid kaks tippu u ja v on seotud, siis ja ainult siis on ƒ(u) ja ƒ(v) seotud garaafis H.

Selle näide on selgituses esitatud. Oluline on siin nende substitutsioonide väljatoomine:

Kahe graafi isomorfsust tähistatakse . Juhul kui bijektsioon on graafi kujutus iseendasse, st kui G ja H on üks ja sama graaf, siis seda bijektsiooni nimetatakse graafi G automorfismiks AutG.

Graafide isomorfism on ekvivalentsussuhe ning graafe võib klassifitseerida ekvivalentsusklassideks. Isomorfsete graafide hulka nimetatakse graafide isomorfismiklassiks.

Isomorfismiklassid ja kanooniline esitus

Structural equivalence
Graafid ja nende struktuursed mudelid.

Isomorfismiklassid on graafiteoorias hästi rakendatavad. Isomorfismiklassi kuuluvatel graafidel on üks ja seesama struktuur. Seda struktuuri on võimalik kanooniliselt esitada spetsiaalse struktuurse mudeli S abil [4] [5].

Erinevad graafid G ja H omavad ühesuguseid ehk ekvivalentseid struktuurseid mudeleid S(G) ja S(H) ! See tähendab, et graafid on isomorfsed ehk nende struktuurid on ekvivalentsed. On tõestatud, et struktuursete mudelite moodustamise ja nende ekvivalentsuse fikseerimise ajaline keerukus on P [6].

Isomorfismist erinevates valdkondades

Isomorfismi mõistet kasutatakse ka geoloogias, bioloogias, füüsikas jm. Korrektne on seda kasutada vaid seal, kus nende spetsiifiliste objektide struktuur ja bijektsioon on määratletav. See tähendab, kui nende geoloogiliste (bioloogilidte, füüsikaliste jt) süsteemide elemendid (komponendid, osised) ja nendevahelised seosed (suhted) on määratletud. Tegelikkuses sellest alati kinni ei peeta.

Viited

  1. Schmitd, Heirich, 1991. Philosophisches Wörerbuch. Stuttgard.
  2. Новая филосовская энциклопкдив. 2001, Москва. ISBN 5-244-00961-3 (00962-1)
  3. A. Cayley, 1857. On the theory of the analytical forms called trees. Phil. Mag. (4) 13 (1857), 172-176
  4. J.-T. Tevet. 2002. Isomorphism and Reconstructions of the Graphs: A constructive approach and development. S.E.R.R., Tallinn.
  5. J.-T. Tevet. 2009. Graafi semiootiliste invariantide müsteerium. S.E.R.R., Tallinn. ISBN 9789949183319
  6. A. Dharwadker, J.-T. Tevet. 2009. The Graph Isomorphism Algorithm. Proc. Institute of Mathematics, Amazon Books, ISBN 9781466394374

Vaata ka

  • Filosoofia leksikon. 1985. Tallinn.
  • Семёнов, A. Л., 1979. Изоморфизм. Математическая энциклопедия, Том 2, Москва.
  • McGraw-Hill dictionary of Mathematics, 1997. N. Y., ISBN 007524335.