Isomorfism: erinevus redaktsioonide vahel

Eemaldatud sisu Lisatud sisu

Reasisene

Redaktsioon: 3. november 2011, kell 17:24

See artikkel räägib filosoofia ja matemaatika mõistest; mineraloogia mõiste kohta vaata artiklit Isomorfism (mineraloogia)

Isomorfism (kreeka: ἴσος isos – ühesugune, ja μορφή morphe – vorm) moodustavad koos homomorfismiga filosoofilise kategooria, mis iseloomustab vastavust objektide struktuuride vahel ^[1] ^[2].

Mõned spetsiifilise suunitlusega filosoofilised koolkonnad võivad mitte tunnistada nende mõistete kuulumist kategooriate kilda.

Selgitus

Isomorfism tähendab vastavust, kus kaks süsteemi, vaadelduna lahus neid moodustavate elementide loomusest, vastab esimese süsteemi igale elemendile ainult üks teise süsteemi element ning ühe süsteemi igale seosele vastab ainult üks seos teises – ja vastupidi. Seega saab isomorfismist rääkida vaid niisuguste objektide puhul, millel on struktuur, st on määratletud selle elemendid (komponendid, osised) ja nendevahelised seosed (suhted).

Isomorfism on määratletav kui struktuuri säilitav üks-ühene vastavus objektide vahel. Isomorfsete objektide hulk moodustab isomorfismiklassi.

Teadaolevalt võttis isomorfismi termini kasutusele 1857. aastal A. Cayley oma keemiliste isomeeride alastes uuringutes ^[3]. Kõige piltlikum näide isomorfismist on graafide isomorfism.

Kaks graafi on isomorfsed, st omavad ühesugust struktuuri, vaatamata nende erinavaele „välimusele“.

Graaf G	Graaf H	Isomorfism G ja H vahel
		ƒ(a) = 1 ƒ(b) = 6 ƒ(c) = 8 ƒ(d) = 3 ƒ(g) = 5 ƒ(h) = 2 ƒ(i) = 4 ƒ(j) = 7

Isomorfism matemaatikas

Matemaatikas defineeritakse isomorfismi kui süsteemi niisugust üks-ühest kujutust sama tüüpi süsteemiks, mille korral säilib süsteemide struktuur. Näiteks, kujund ja selle kujundi matemaatiline avaldis.

Isomorfism on pööratav morfism, millel on pöördmorfism, kus nende korrutis on ühikmorfism. Topoloogilist isomorfismi nimetatakse homoömorfismiks.

Algebras on isomorfism kujutus objektide vahel mis näitab suhet kahe omaduse või operatsiooni vahel. Kui kahe struktuuri vahel esineb isomorfism, siis öeldakse, et vastavad objektid on isomorfsed. Teatud mõttes on isomorfsed objektid struktuurselt samased, kui muud liiki erinevused on ignoreeritud. Veelgi formaalsemalt on isomorfism bijektiivne kujutus f niisugune, et f ja selle pöördfunktsioon f⁻¹ on struktuuri säilitavad kujutused kahe algebralise struktuuri vahel, st need mõlemad on homomorfsed. Isomorfism on algebras samalaadselt defineeritud ka rühma, ringi ja teiste struktuuride kohta.

Kategooria teoorias on isomorfism morfism f: X → Y, mille inversiooni f⁻¹: Y → X, puhul f⁻¹f = id_X ja f f⁻¹ = id_Y.

Isomorfism graafiteoorias tähendab graafi struktuuri säilitavat tippude bijektsiooni. Selle näide on selgituses esitatud. Oluline on siin nende substitutsioonide väljatoomine: ${\begin{pmatrix}a&b&c&d&g&h&i&j\\1&6&8&3&5&2&4&7\end{pmatrix}}$

Kahe graafi isomorfsust tähistatakse $G\simeq H$ . Juhul kui bijektsioon on graafi kujutus iseendasse, st kui G ja H on üks ja sama graaf, siis seda bijektsiooni nimetatakse graafi G automorfismiks AutG.

Graafide isomorfism on ekvivalentsussuhe ning graafe võib klassifitseerida ekvivalentsusklassideks. Isomorfsete graafide hulka nimetatakse graafide isomorfismiklassiks.

Isomorfismiprobleem

Isomorfismiprobleemiks nimetatakse ülesannet konstrueerida efektiivne algoritm, mis antud klassi kahe suvalise algebralise süsteemi korral selgitab, kas nad on isomorfsed või mitte.

Isomorfismiprobleem on seni lahendamata paljude oluliste algebra klasside puhul. Graafide vallas toimus 20. sajandi seitsmekümnendail isomorfismiprobleemi lahendamise katsete buum, mida isomorfismihaiguseks tituleeriti ^[4] ^[5]. Pärast seda muutusid selle lahendamise püüdlused peaaegu tabuks. Struktuurisemiootika on selle jälle esile toonud.

Isomorfismist erinevates valdkondades

Isomorfismi mõistet kasutatakse ka geoloogias, bioloogias, füüsikas jm. Korrektne on seda kasutada vaid seal, kus nende spetsiifiliste objektide struktuur ja bijektsioon on määratletav. See tähendab, kui nende geoloogiliste (bioloogilidte, füüsikaliste jt) süsteemide elemendid (komponendid, osised) ja nendevahelised seosed (suhted) on määratletud. Tegelikkuses sellest alati kinni ei peeta.

Viited

↑ Schmitd, Heirich, 1991. Philosophisches Wörerbuch. Stuttgard.
↑ Новая филосовская энциклопкдив. 2001, Москва. ISBN 5-244-00961-3 (00962-1)
↑ A. Cayley, 1857. On the theory of the analytical forms called trees. Phil. Mag. (4) 13 (1857), 172-176
↑ Read, R. C., Corneil, D. G., 1977. The graph isomorphism disease. J. of Graph Theory, 1 (1977), 339-363.
↑ Gati, G., 1978. Further annotated bibliography on the isomorphism disease. J. of Graph Theory, 3 (1979), 95-109.

Vaata ka

Filosoofia leksikon. 1985. Tallinn.
Семёнов, A. Л., 1979. Изоморфизм. Математическая энциклопедия, Том 2, Москва.
McGraw-Hill dictionary of Mathematics, 1997. N. Y., ISBN 007524335.

[1] Schmitd, Heirich, 1991. Philosophisches Wörerbuch. Stuttgard.

[2] Новая филосовская энциклопкдив. 2001, Москва. ISBN 5-244-00961-3 (00962-1)

[3] A. Cayley, 1857. On the theory of the analytical forms called trees. Phil. Mag. (4) 13 (1857), 172-176

[4] Read, R. C., Corneil, D. G., 1977. The graph isomorphism disease. J. of Graph Theory, 1 (1977), 339-363.

[5] Gati, G., 1978. Further annotated bibliography on the isomorphism disease. J. of Graph Theory, 3 (1979), 95-109.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ 49. rida: / 49. rida: @@
 Isomorfism [[graafiteooria]]s tähendab graafi struktuuri säilitavat tippude bijektsiooni. Selle näide on selgituses esitatud. Oluline on siin nende [[substitutsioon]]ide väljatoomine:
-|<math>\begin{pmatrix} a & b & c & d & g & h & i & j \\ 1 & 6 & 8 & 3 & 5 & 2 & 4 & 7 \end{pmatrix}</math>
+<math>\begin{pmatrix} a & b & c & d & g & h & i & j \\ 1 & 6 & 8 & 3 & 5 & 2 & 4 & 7 \end{pmatrix}</math>
-|}
+Kahe graafi isomorfsust tähistatakse <math>G\simeq H</math>. Juhul kui bijektsioon on graafi kujutus iseendasse, st kui ''G'' ja ''H'' on üks ja sama graaf, siis seda bijektsiooni nimetatakse graafi ''G'' [[automorfism]]iks '''''AutG'''''.
+Graafide isomorfism on [[ekvivalentsus|ekvivalentsussuhe]] ning graafe võib [[klassifitseerimine|klassifitseerida]] [[ekvivalentsus|ekvivalentsusklassideks]]. Isomorfsete graafide hulka nimetatakse '''''graafide isomorfismiklassiks'''''.
 ==Isomorfismiprobleem==