Tuletis (matemaatika): erinevus redaktsioonide vahel

Allikas: Vikipeedia
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
JAnDbot (arutelu | kaastöö)
P robot muutis: zh-yue:導數
JAnDbot (arutelu | kaastöö)
P robot muutis: af, ca, cs, en, eo, es, fr, hu, id, nl, nn, scn, simple, sv, uk, ur, zh
103. rida: 103. rida:
{{Link FA|mk}}
{{Link FA|mk}}


[[af:Afgeleide]]
[[af:Differensiaalrekening]]
[[ar:اشتقاق (رياضيات)]]
[[ar:اشتقاق (رياضيات)]]
[[id:Turunan]]
[[id:Kalkulus diferensial]]
[[ms:Pembezaan]]
[[ms:Pembezaan]]
[[be-x-old:Вытворная функцыі]]
[[be-x-old:Вытворная функцыі]]
[[bs:Derivacija]]
[[bs:Derivacija]]
[[bg:Производна]]
[[bg:Производна]]
[[ca:Derivada]]
[[ca:Càlcul diferencial]]
[[cs:Derivace]]
[[cs:Diferenciální počet]]
[[cy:Differu]]
[[cy:Differu]]
[[da:Differentialregning]]
[[da:Differentialregning]]
[[de:Differentialrechnung]]
[[de:Differentialrechnung]]
[[el:Παράγωγος]]
[[el:Παράγωγος]]
[[en:Derivative]]
[[en:Differential calculus]]
[[es:Derivada]]
[[es:Cálculo diferencial]]
[[eo:Derivaĵo (matematiko)]]
[[eo:Diferenciala kalkulo]]
[[eu:Deribatu]]
[[eu:Deribatu]]
[[fa:مشتق]]
[[fa:مشتق]]
[[fr:Dérivée]]
[[fr:Calcul infinitésimal]]
[[fur:Derivade]]
[[fur:Derivade]]
[[gl:Derivada]]
[[gl:Derivada]]
135. rida: 135. rida:
[[lt:Išvestinė]]
[[lt:Išvestinė]]
[[lmo:Derivada]]
[[lmo:Derivada]]
[[hu:Derivált]]
[[hu:Differenciálszámítás]]
[[mk:Диференцијално сметање]]
[[mk:Диференцијално сметање]]
[[mt:Derivata]]
[[mt:Derivata]]
[[nl:Afgeleide]]
[[nl:Differentiaalrekening]]
[[ja:微分法]]
[[ja:微分法]]
[[no:Derivasjon]]
[[no:Derivasjon]]
[[nn:Derivasjon]]
[[nn:Differensialrekning]]
[[pl:Pochodna]]
[[pl:Pochodna]]
[[pt:Derivada]]
[[pt:Derivada]]
[[ro:Derivată]]
[[ro:Derivată]]
[[ru:Производная функции]]
[[ru:Производная функции]]
[[scn:Dirivata]]
[[scn:Càlculu diffirinziali]]
[[simple:Derivative (mathematics)]]
[[simple:Differential calculus]]
[[sk:Derivácia (funkcia)]]
[[sk:Derivácia (funkcia)]]
[[sl:Odvod]]
[[sl:Odvod]]
[[sr:Извод]]
[[sr:Извод]]
[[fi:Derivaatta]]
[[fi:Derivaatta]]
[[sv:Derivata]]
[[sv:Differentialkalkyl]]
[[th:อนุพันธ์]]
[[th:อนุพันธ์]]
[[vi:Đạo hàm và vi phân của hàm số]]
[[vi:Đạo hàm và vi phân của hàm số]]
[[tr:Türev]]
[[tr:Türev]]
[[uk:Диференціальне числення]]
[[uk:Похідна]]
[[ur:مشتق]]
[[ur:تفریقی حسابان]]
[[vec:Derivada]]
[[vec:Derivada]]
[[zh-yue:導數]]
[[zh-yue:導數]]
[[zh:导数]]
[[zh:微分]]

Redaktsioon: 7. juuni 2010, kell 15:48

Funktsiooni tuletis on matemaatilise analüüsi üks põhimõisteid. Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel — täpsemalt, funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile.

Ühe reaalarvulise parameetriga ning reaalarvuliste väärtustega funktsiooni korral on selle funktsiooni tuletiseks mingil kohal selle funktsiooni graafiku puutuja tõus sellel kohal.

Füüsikas on nihke tuletiseks aja järgi hetkkiirus, kiiruse tuletiseks omakorda kiirendus.

Matemaatilise analüüsi eeskujul on tuletise mõistet mitmel viisil üldistatud teistesse matemaatika valdkondadesse. Käesolev artikkel käsitleb põhiliselt reaal- või kompleksmuutuja funktsiooni tuletist matemaatilise analüüsi tähenduses; mõiste tuletis tähenduste kohta teistes matemaatika harudes vaata alajaotust Üldistusi.

Määratlus

Tuletis antud kohal

Olgu kõigi reaalarvude või kõigi kompleksarvude hulk, s.t. . Olgu antud funktsioon , kus , ning olgu . Kui leidub (lõplik või lõpmatu) piirväärtus , siis seda nimetatakse funktsiooni tuletiseks kohal ning tähistatakse sümboliga .

Tavaliselt määratletakse funktsiooni tuletis vaid tema määramispiirkonna sisepunktides, s. t. eeltoodud definitsiooni lisatakse veel eeldus, et on hulga sisepunkt.

Kui funktsioonil on lõplik tuletis kohal , nimetatakse funktsiooni diferentseeruvaks kohal .

Tuletis kui funktsioon. Kõrgemat järku tuletised

Kui funktsioon on diferentseeruv igas oma määramispiirkonna punktis, öeldakse lihtsalt, et funktsioon on diferentseeruv.

Kui funktsioon on diferentseeruv, saame vaadelda tema tuletist funktsioonina .

Sellisel juhul saame uurida funktsiooni tuletiste olemasolu. Funktsiooni tuletist nimetatakse funktsiooni teist järku tuletiseks ning tähistatakse . Kui funktsioon on diferentseeruv ehk funktsioonil on kogu tema määramispiirkonnas olemas lõplik teist järku tuletis, nimetatakse funktsiooni kaks korda diferentseeruvaks.

Samamoodi, kui funktsioon on diferentseeruv, määratletakse ka funktsiooni kolmandat järku tuletis jne. Üldiselt, funktsiooni -ndat järku tuletist kohal , kus , tähistatakse .

Tähistusi

Lagrange'i tähistus

Eeltoodud määratluses kasutasime Joseph-Louis Lagrange'i tähistust:

- funktsiooni tuletis kohal
- teist järku tuletis
- kolmandat järku tuletis
ehk - neljandat järku tuletis
- -ndat järku tuletis ()

Leibnizi tähistus

Kui muutujate ja vahel on seos , siis nii funktsiooni tuletisfunktsiooni kui ka selle väärtust kohal tähistatakse Leibnizi tähistuses .

Leibnizi tähistust põhjendab seos , kus on suuruse muut ning on vastav suuruse muut — tuletise kui funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtuse tähistamiseks asendame selles suhtes kreeka tähe delta lihtsalt talle ladina tähestikus vastava tähega .

Kõrgemat järku tuletise jaoks kasutatakse tähistust .

Newtoni tähistus

Kui funktsiooni argument tähistab aega (sellisel juhul kasutatakse argumendi tähistamiseks tähe asemel enamasti tähte ), kasutatakse füüsikas sageli ka Newtoni tähistust: kui muutuja sõltuvust ajast kirjeldab seos , siis funktsiooni tuletisi tähistatakse

ja nii edasi.

Kõrgemat järku tuletiste puhul on Newtoni tähistust raske kasutada, sest paljusid täppe on tüütu kirjutada ja kokku lugeda ning puudub üldine tähistus -ndat järku tuletise jaoks, kuid paljudes füüsikaülesannetes piisab esimest ja teist järku tuletisest.

Näide

Olgu , sellisel juhul ja

Tuletise rakendusi

Matemaatika

L'Hospitali reegel

 Pikemalt artiklis L'Hospitali reegel

Kui ja leidub

või ja leidub

siis kehtib võrdus

Näiteks

Taylori valem

 Pikemalt artiklis Taylori valem

Lihtne näide Taylori teoreemist on eksponentfunktsiooni lihtsustamine ligikaudseks x = 0 juures:

Teoreemi täpne sõnastus on: kui n ≥ 0 on täisarv ja on funktsioon, mis on n korda pidevalt diferentseeruv suletud intervallil [a, x] ja n + 1 korda diferentseeruv avatud intervallil (a, x), siis

Funktsiooni uurimine

Füüsika

Füüsikas kasutatakse tuletist hetkkiiruse leidmiseks liikumisvõrrandist.

Näide: liikugu punkt mingis koordinaatsüsteemis sirgjooneliselt ühtlase kiirendusega võrrandi järgi. Kiiruse leidmiseks ajahetkel võetakse liikumisvõrrandist aja järgi tuletis:

. Kiirusvõrrandist omakorda tuletise võtmine annab kiiruse muutumise kiiruse ehk kiirenduse (antud juhul konstant 2).

Üldistusi

Diskreetne matemaatika

Loogikafunktsiooni tuletis argumendi järgi määrab loogikatingimused, milliste puhul funktsiooni väärtus on tundlik selle argumendi muutuste suhtes (kas otse- või vastandfaasis).

Näide: olgu

Mall:Link FA Mall:Link FA Mall:Link FA