Kuldlõige

Kuldlõike konstrueerimine

Kuldlõige tähendab lõigu sellist jaotamist kaheks osaks, et suurem osa oleks kogu lõigu ja selle väiksema osa keskmine võrdeline.

Seda suhet saab väljendada matemaatilise konstandiga $\varphi$ (fii), mis on irratsionaalarv järgmise ligikaudse väärtusega:

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,61803\,39887\,.$

Arvutus

Fail:Kuldl6ige.png

Lõigu a suhe b-sse on nagu a+b suhe a-sse.

Kaks positiivset arvu a ja b on kuldlõikes $\varphi$, kui

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi \,.$

See võrrand defineerib üheselt $\varphi \,$. Parempoolne võrrand näitab, et $a=b\varphi$, ning saab teha asenduse vasakpoolses osas, saades

${\frac {b\varphi +b}{b\varphi }}={\frac {b\varphi }{b}}\,.$

Taandades b, saame tulemuseks

${\frac {\varphi +1}{\varphi }}=\varphi .$

Kuldlõige φ
Kahendsüsteemis	1,1001111000110111011...
Kümnendsüsteemis	1,6180339887498948482...
Kuueteistkümnendsüsteemis	1,9E3779B97F4A7C15F39...
Ahelmurd	$1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}$
Algebraline kuju	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Võrrandi mõlema poole korrutamine $\varphi$-ga ning liikmete ümberpaigutamine annab:

$\varphi ^{2}-\varphi -1=0.$

Selle ruutvõrrandi ainus positiivne lahend on

$\varphi ={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\approx 1,61803\,39887\,...$

Vaata ka

• Kompositsioon