Aritmeetiline jada: erinevus redaktsioonide vahel
Resümee puudub |
PResümee puudub |
||
1. rida: | 1. rida: | ||
'''Aritmeetiline jada''' ehk '''aritmeetiline progressioon''' on [[jada]], milles iga liikme ja sellele eelneva liikme vahe on konstantne. Seda konstanti nimetatakse ''artimeetilise jada vaheks''. |
'''Aritmeetiline jada''' ehk '''aritmeetiline progressioon''' on [[jada]], milles iga liikme ja sellele eelneva liikme [[vahe (matemaatika)|vahe]] on konstantne. Seda konstanti nimetatakse ''artimeetilise jada vaheks''. |
||
Aritmeetilise jada üldliige avaldub kujul |
Aritmeetilise jada üldliige avaldub kujul |
||
: <math>a_n = a_0 + n d, \,</math> |
: <math>a_n = a_0 + n d, \,</math> |
||
kus a_0 on aritmeetilise jada esimene element ehk '''algliige''' ja d on arimteetilise jada ''vahe''. |
kus <math>a_0</math> on aritmeetilise jada esimene element ehk '''algliige''' ja d on arimteetilise jada ''vahe''. |
||
Kõik aritmeetilised jadad, kus d ≠ 0, on [[tõkestamata jada]]d. Kui d > 0, siis n → ∞ korral |
Kõik aritmeetilised jadad, kus d ≠ 0, on [[tõkestamata jada]]d. Kui d > 0, siis n → ∞ korral <math>a_n</math> → ∞. Kui d < 0, siis n → ∞ korral <math>a_n</math> → –∞. |
||
== Näited == |
== Näited == |
||
13. rida: | 13. rida: | ||
== Aritmeetilise jada ''n'' esimese liikme summa == |
== Aritmeetilise jada ''n'' esimese liikme summa == |
||
Aritmeetilise jada ''n'' esimese liikme summa avaldub kujul |
Aritmeetilise jada ''n'' esimese liikme [[summa]] avaldub kujul |
||
:<math>S_n = a_0 + a_1 + ... + a_{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} (a_0 + d k) = n (a_0 + d \frac{n-1}{2}) </math>. |
:<math>S_n = a_0 + a_1 + ... + a_{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} (a_0 + d k) = n (a_0 + d \frac{n-1}{2}) </math>. |
||
19. rida: | 19. rida: | ||
Tõestuseks võib konstrueerida järgmise summa |
Tõestuseks võib konstrueerida järgmise summa |
||
:<math>2S_n = (a_0 + a_{n-1}) + (a_1 + a_{n-2}) + ... + (a_{n-1} + |
:<math>2S_n = (a_0 + a_{n-1}) + (a_1 + a_{n-2}) + ... + (a_{n-1} + a_0). \, </math> |
||
Asendades viimasesse avaldisse pealiikme valemi saame summa |
Asendades viimasesse avaldisse pealiikme valemi saame summa |
||
: <math>2S_n = \sum_{k=0}^{n-1} (a_0 + d k + a_0 + d (n - 1 - k)) = \sum_{k=0}^{n-1} (2a_0 + d (n - 1)) = n (2a_0 + d (n - 1)). </math> |
: <math>2S_n = \sum_{k=0}^{n-1} (a_0 + d k + a_0 + d (n - 1 - k)) = \sum_{k=0}^{n-1} (2a_0 + d (n - 1)) = n (2a_0 + d (n - 1)). </math> |
Redaktsioon: 27. september 2009, kell 18:17
Aritmeetiline jada ehk aritmeetiline progressioon on jada, milles iga liikme ja sellele eelneva liikme vahe on konstantne. Seda konstanti nimetatakse artimeetilise jada vaheks.
Aritmeetilise jada üldliige avaldub kujul
kus on aritmeetilise jada esimene element ehk algliige ja d on arimteetilise jada vahe.
Kõik aritmeetilised jadad, kus d ≠ 0, on tõkestamata jadad. Kui d > 0, siis n → ∞ korral → ∞. Kui d < 0, siis n → ∞ korral → –∞.
Näited
Jada (7, 12, 17, 22, ..., 5n + 7, ...) on aritmeetiline jada algliikmega =7 ja vahega d = 5.
Aritmeetilise jada n esimese liikme summa
Aritmeetilise jada n esimese liikme summa avaldub kujul
- .
Tõestus
Tõestuseks võib konstrueerida järgmise summa
Asendades viimasesse avaldisse pealiikme valemi saame summa
Võrduse poolte jagamine kahega annabki aritmeetilise jada n esimese liikme summa valemi.