Korpus (matemaatika): erinevus redaktsioonide vahel

Eemaldatud sisu Lisatud sisu

Reasisene

Redaktsioon: 16. aprill 2003, kell 10:21

Olgu K mingi hulk, mis sisaldab vähemalt kaks elementi. Olgu K-s määratud ka kaks arvutustehet, mida tähistatakse kas või pluss- ja korrutusmärgiga (+ ja ·). See tähendab, et "+" seab igale kahele K elemendile x ja y vastavusse ühe kindla K elemendi, mida nimetatakse x ja y summaks ning tähistatakse x+y-ga; samuti seab "·" neile kahele elemendile vastavusse ühe K elemendi, mida nimetatakse x ja y korrutiseks ning tähistatakse x·y-ga (või lihtsamalt xy-ga).

Selline hulk K oma kahe arvutustehtega on korpus, kui sellel on kõik järgmised omadused:

1. x+(y+z) = (x+y)+z alati (+-i assitsiatiivsus ehk ühenduvus)

2. K-st leidub selline element 0, et alati kehtib 0+x = x

3. Igal elemendil x on K-s oma "vastandelement" −x nii, et −x+x = 0

4. x+y = y+x alati (+-i kommutatiivsus ehk vahetuvus)

5. x·(y+z) = x·y+x·z alati (I distributiivsus ehk jaotuvus)

6. x·(y·z) = (x·y)·z alati (·-i assotsiatiivsus ehk ühenduvus)

7. K-st leidub teinegi eriline element 1 nii, et alati kehtib 1·x = x

8. Igal elemendil x peale 0-i on K-s oma "pöördelement" x´ nii, et x´·x = 1

9. x·y = y·x alati (·-i kommutatiivsus ehk vahetuvus)

Ehkki nimetused (liitmine, korrutamine, summa, korrutis) tekitavad kujutluse, et korpuses mängitakse arvudega, ei ole asi vältimatult nii − elementideks võivad olla muudki objektid peale arvude. Nulliga (0) tähistatud elemendil ei tarvitse olla "õige null", kuid see on vaid liitmises mõjumatu element (+-i neutraalelement); samuti on ühega (1) tähistatud vaid korrutamises mõjumatu element (·-i neutraalelement).

Sellest ei pääse küll mööda, et nood üheksa omadust on just need, mis me teame olevat arvudel. Meile tuntud harilikud arvud, kas või arvusirge kõik reaalarvud, moodustavad niisiis korpuse.

Et kõik korpused ei koosne arvudest, nähtub järgnevast näitest. Siin on elementideks ainult kaks sõna(!), paaris ja paaritu. Elementide hulk K on niisiis väga väike: {paaris, paaritu}. Kas sõnadega saab sooritada tehteid? Saab küll, kui lepitakse kokku näiteks järgmised tulemused:

paaris+paaris = paaris, paaris·paaris = paaris

paaritu+paaritu = paaris, paaritu·paaritu = paaritu

paaris+paaritu = paaritu, paaris·paaritu = paaris

paaritu+paaris = paaritu, paaritu·paaris = paaris

Kõik võmalikud arvutused saavad sooritatud, ja tulemused ei tundu sugugi olevat rumalad! Pandagu eriti tähele, et paaris+x = x, olgu x kumb tahes, ja paaritu·x = x, olgu x kumb tahes. Seega vastab paariline 2. punkti "nullelemendile" 0 ja paaritu 7. punkti "ühikelemendile" 1. Hulgas K = {paaris, paaritu} = {0, 1} on võimalik tõestada ka kõikide teiste punktide kehtivust. Järelikult on tegemist korpusega. See korpus kuulub lõplike korpuste ehk Galois’ korpuste sekka. Pange muide tähele, et selles korpuses 1+1 = 0; seal pole olemas mingit "kahte"!

@@ 1. rida: / 1. rida: @@
-Olgu ''K'' mingi [[hulk]], mis sisaldab vähemalt kaks elementi. &nbsp; Olgu ''K''-s määratud ka kaks arvutustehet, mida tähistatakse kas või pluss- ja korrutusmärgiga (+ ja ·). &nbsp; See tähendab, et "+" määrab igat kaht ''K'' elementi   ''x'' ja ''y'' vastama ühe teatud ''K'' elemendi, mida nimetatakse ''x'' ja ''y'' summaks ning tähistatakse ''x+y''-ga; samuti määrab "·"  neid kaht elementi vastama ühe ''K'' elemendi, mida kutsutakse ''x'' ja ''y'' korrutiseks ning tähistatakse ''x·y''-ga (või lihtsamalt ''xy''-ga).
+Olgu ''K'' mingi [[hulk]], mis sisaldab vähemalt kaks elementi. &nbsp; Olgu ''K''-s määratud ka kaks arvutustehet, mida tähistatakse kas või pluss- ja korrutusmärgiga (+ ja ·). &nbsp; See tähendab, et "+" seab igale kahele ''K'' elemendile   ''x'' ja ''y'' vastavusse ühe kindla ''K'' elemendi, mida nimetatakse ''x'' ja ''y'' summaks ning tähistatakse ''x+y''-ga; samuti seab "·"  neile kahele elemendile vastavusse ühe ''K'' elemendi, mida nimetatakse ''x'' ja ''y'' korrutiseks ning tähistatakse ''x·y''-ga (või lihtsamalt ''xy''-ga).
 Selline hulk ''K'' oma kahe arvutustehtega on '''korpus''', kui sellel on kõik järgmised omadused:
-. ''x''+(''y+z'') = (''x+y'')+''z'' &nbsp; alati &nbsp; (+-i ühenduvus)
+. ''x''+(''y+z'') = (''x+y'')+''z'' &nbsp; alati &nbsp; (+-i assitsiatiivsus ehk ühenduvus)
-. ''K''-st leidub sihukene element 0, et alati kehtib &nbsp; 0+''x = x''
+. ''K''-st leidub selline element 0, et alati kehtib &nbsp; 0+''x = x''
 . Igal elemendil ''x'' on ''K''-s oma "vastandelement" &minus;''x'' nii, et &nbsp; &minus;''x+x'' = 0
-. ''x+y = y+x'' &nbsp; alati &nbsp; (+-i vahetuvus)
+. ''x+y = y+x'' &nbsp; alati &nbsp; (+-i kommutatiivsus ehk vahetuvus)
-. ''x''·(''y+z'') = ''x''·''y''+''x''·''z'' &nbsp; alati &nbsp; (I jaotuvus)
+. ''x''·(''y+z'') = ''x''·''y''+''x''·''z'' &nbsp; alati &nbsp; (I distributiivsus ehk jaotuvus)
-. ''x''·(''y''·''z'') = (''x''·''y'')·''z'' &nbsp; alati &nbsp; (·-i ühenduvus)
+. ''x''·(''y''·''z'') = (''x''·''y'')·''z'' &nbsp; alati &nbsp; (·-i assotsiatiivsus ehk ühenduvus)
-. ''K''-st leidub teinegi eriline element 1, et alati kehtib &nbsp; 1·''x = x''
+. ''K''-st leidub teinegi eriline element 1 nii, et alati kehtib &nbsp; 1·''x = x''
 . Igal elemendil ''x'' peale 0-i on ''K''-s oma "pöördelement" ''x''´ nii, et &nbsp; ''x''´·''x'' = 1
-. ''x''·''y'' = ''y''·''x'' &nbsp; alati &nbsp; (·-i vahetuvus)
+. ''x''·''y'' = ''y''·''x'' &nbsp; alati &nbsp; (·-i kommutatiivsus ehk vahetuvus)
-Ehkki nimetused (liitmine, korrutamine, summa, korrutis) annavad kujutluse, et korpuses mängitakse arvudega, nii asi ei ole vältimatult nii − elemendid võivad olla muidgi mõisteid kui arve. &nbsp; Nulliga (0) tähistatud elemendil ei tarvitse olla "õige null", kuid see on vaid liitmises mõjumatu element (+-i neutraalelement); samuti on ühega (1) tähistatud vaid korrutamises mõjumatu element (·-i neutraalelement).
+Ehkki nimetused (liitmine, korrutamine, summa, korrutis) tekitavad kujutluse, et korpuses mängitakse arvudega, ei ole asi vältimatult nii − elementideks võivad olla muudki objektid peale arvude. &nbsp; Nulliga (0) tähistatud elemendil ei tarvitse olla "õige null", kuid see on vaid liitmises mõjumatu element (+-i neutraalelement); samuti on ühega (1) tähistatud vaid korrutamises mõjumatu element (·-i neutraalelement).
-Siit küll ei pääse kuhugi, et nood üheksa omadust on just neid mis tuntult on arvudel. &nbsp; Meie tuntud harilikud arvud, kas või arvusirge kõik reaalarvud, moodustavad niisiis korpuse.
+Sellest ei pääse küll mööda, et nood üheksa omadust on just need, mis me teame olevat arvudel. &nbsp; Meile tuntud harilikud arvud, kas või arvusirge kõik reaalarvud, moodustavad niisiis korpuse.
-Et kõik korpused ei koostu arvudest, nähakse järgnevast näitest. &nbsp; Siin on elemendideks ainult kaks sõna(!), ''paariline'' ja ''paaritu''. &nbsp; Elementhulk ''K'' on niisiis väga väike: {''paariline, paaritu''}. &nbsp; Kas võidakse sõnadega sooritada tehteid? &nbsp; Võidakse küll, kui kokku leppidakse näiteks    järgmised tulemused:
+Et kõik korpused ei koosne arvudest, nähtub järgnevast näitest. &nbsp; Siin on elementideks ainult kaks sõna(!), ''paaris'' ja ''paaritu''. &nbsp; Elementide hulk ''K'' on niisiis väga väike: {''paaris, paaritu''}. &nbsp; Kas sõnadega saab sooritada tehteid? &nbsp; Saab küll, kui lepitakse kokku näiteks järgmised tulemused:
-''paariline+paariline = paariline'', &nbsp; ''paariline''·''paariline = paariline''
+''paaris''+''paaris'' = ''paaris'', &nbsp; ''paaris''·''paaris'' = ''paaris''
-''paaritu+paaritu = paariline'', &nbsp; ''paaritu''·''paaritu = paaritu''
+''paaritu''+''paaritu'' = ''paaris'', &nbsp; ''paaritu''·''paaritu'' = ''paaritu''
-''paariline+paaritu = paaritu'', &nbsp; ''paariline''·''paaritu = paariline''
+''paaris''+''paaritu'' = ''paaritu'', &nbsp; ''paaris''·''paaritu'' = ''paaris''
-''paaritu+paariline = paaritu'', &nbsp; ''paaritu''·''paariline = paariline''
+''paaritu''+''paaris'' = ''paaritu'', &nbsp; ''paaritu''·''paaris'' = ''paaris''
-Kõik võmalikud arvutused saadakse sooritatud, ega tulemused ei tunnu sugugi olevat rumalad! &nbsp; Pannakse tähele eriti, et ''paariline''+''x = x'', olgu ''x'' kumb tahes,  ja &nbsp; ''paaritu''·''x = x'', olgu ''x'' kumb tahes. &nbsp; Niimoodi vastab ''paariline'' 2. punkti "nullelemendile" 0 ja ''paaritu'' 7. punkti "ühikelemendile" 1. &nbsp; Ka iga muugi punkti kehtivus võidakse üksikasjalikult tõendada hulgas ''K'' = {''paariline, paaritu''} = {0, 1}, mis on niisiis korpus. See korpus ongi võimalikult väike. See kuulub lõplikutesse korpustesse ehk '''Galois’ korpustesse'''. &nbsp; Pange muide tähele, et selles korpuses on 1+1 = 0; seal pole olemas migagi "kaht"!
+Kõik võmalikud arvutused saavad sooritatud, ja tulemused ei tundu sugugi olevat rumalad! &nbsp; Pandagu eriti tähele, et ''paaris''+''x = x'', olgu ''x'' kumb tahes, ja &nbsp; ''paaritu''·''x = x'', olgu ''x'' kumb tahes. &nbsp; Seega vastab ''paariline'' 2. punkti "nullelemendile" 0 ja ''paaritu'' 7. punkti "ühikelemendile" 1. &nbsp; Hulgas ''K'' = {''paaris'', ''paaritu''} = {0, 1} on võimalik tõestada ka kõikide teiste punktide kehtivust. Järelikult on tegemist korpusega. See korpus kuulub lõplike korpuste ehk '''Galois’ korpuste''' sekka. &nbsp; Pange muide tähele, et selles korpuses  1+1 = 0; seal pole olemas mingit "kahte"!