Ehrenfesti teoreem

Ehrenfesti teoreem kvantmehaanikas seob vaadeldava suuruse keskväärtuse ajatuletise selle suuruse ja Hamiltoni operaatori kommutaatori keskväärtusega. Lühidalt kirjeldab see, kuidas mistahes kvantmehaanilise suuruse keskväärtus muutub ajas.  

${\frac {d}{dt}}\langle {\hat {A}}\rangle =\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {i}{\hbar }}\langle [{\hat {H}},{\hat {A}}]\rangle$

Ehrenfesti teoreem ilmus 1927. aastal Austria füüsiku Paul Ehrenfesti artiklis „Bemerkung über die angenäherte Gültigkeit der klassischen Mechanik innerhalb der Quantenmechanik“, kus ta näitas, et kvantmehaaniliste suuruste keskväärtused järgivad Newtoni II seadust.

Tuletus Schrödingeri võrrandi kaudu

Eeldame, et kvantsüsteemi olekut saab täielikult kirjeldada kompleksse lainefunktsiooniga $\psi (x,t)$. Kui vaadeldav suurus on määratud hermiitilise operaatoriga ${\hat {A}}(t)$, siis on suuruse keskväärtus määratud avaldisega

$\langle {\hat {A}}(t)\rangle =\langle \psi (t)|{\hat {A}}(t)|\psi (t)\rangle$

Võttes sellest täistuletise ajas saame

${\frac {d}{dt}}\langle {\hat {A}}(t)\rangle =\left({\frac {d}{dt}}\langle \psi (t)|\right){\hat {A}}(t)|\psi (t)\rangle +\langle \psi (t)|{\frac {\partial {\hat {A}}(t)}{\partial t}}|\psi (t)\rangle +\langle \psi (t)|{\hat {A}}(t)\left({\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle \right)$

Schrödingeri võrrand ja selle komplekskonjugaat

${\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle =-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}|\psi (t)\rangle ,\quad {\frac {d}{dt}}\langle \psi (t)|={\frac {i}{\hbar }}\langle \psi (t)|{\hat {H}}$

Asendades need tuletisse saame${\frac {d}{dt}}\langle {\hat {A}}(t)\rangle ={\frac {i}{\hbar }}\langle \psi (t)|{\hat {H}}{\hat {A}}(t)|\psi (t)\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}(t)}{\partial t}}\right\rangle -{\frac {i}{\hbar }}\langle \psi (t)|{\hat {A}}(t){\hat {H}}|\psi (t)\rangle =\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}(t)}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {i}{\hbar }}\langle \psi (t)|[{\hat {H}},{\hat {A}}(t)]|\psi (t)\rangle$

Kokkuvõttes

${\frac {d}{dt}}\langle {\hat {A}}(t)\rangle =\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}(t)}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {i}{\hbar }}\langle [{\hat {H}},{\hat {A}}(t)]\rangle$

Kui vaadeldav suurus ${\hat {A}}$ ei sõltu ajast ehk kehtib ${\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}=0$, saame lihtsustatud kuju

${\frac {d}{dt}}\langle {\hat {A}}\rangle ={\frac {i}{\hbar }}\langle [{\hat {H}},{\hat {A}}]\rangle$

Seos klassikalise mehaanikaga

Diraci vastavusprintsiip

Diraci vastavusprintsiip võimaldab klassikalise mehaanika võrrandeid viia kvantmehaanilisse vormi, asendades Poissoni sulud vastavate operaatorite kommutaatoritega. Klassikalises mehaanikas kirjeldab mingi suuruse $A(q(t),p(t);t)$ ajas muutumist järgmine võrrand:

${\frac {dA(q,p;t)}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+\sum _{i}\left({\frac {\partial A}{\partial q_{i}}}{\frac {dq_{i}}{dt}}+{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {dp_{i}}{dt}}\right)$

Näeme, et esimene liige vasakul pool kirjeldab suuruse $A(q(t),p(t);t)$ otsest ajasõltuvust ning ülejäänud liikmed  kirjeldavad kaudset ajasõltuvust koordinaatide $q_{i}(t)$ ja impulsside $p_{i}(t)$ kaudu. Kasutame Hamiltoni liikumisvõrrandeid:

${\frac {dq_{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\qquad {\frac {dp_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}$

Asendades need, saame:

${\frac {dA(q,p;t)}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+\sum _{i}\left({\frac {\partial A}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right)$

kus $\{A,H\}$ on Poissoni sulg. Võrreldes saadud tulemust Ehrenfesti teoreemi definitsiooniga, kus oleme vahetanud viimases seoses kommutaatorite järjekorra

${\frac {d}{dt}}\langle {\hat {A}}\rangle =\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {i}{\hbar }}\langle [{\hat {H}},{\hat {A}}]\rangle =\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle [{\hat {A}},{\hat {H}}]\rangle$

saame tuletada Diraci vastavusprintsiibi, mis üldiselt avaldub kujul

$\{A,H\}\quad \longleftrightarrow \quad {\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {H}}]$

Klassikalised liikumisvõrrandid

Ehrenfesti teoreemi abil saab tuletada seosed, mis meenutavad klassikalise mehaanika liikumisvõrrandeid. Eeldame, et tegemist on massiga osakesega potentsiaaliväljas $V(x)$. Hamiltoni operaator avaldub kujul:

${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\hat {x}})$

Kui ${\hat {A}}={\hat {x}}$ ning ${\hat {x}}$ ei sõltu ajast, siis Ehrenfesti teoreemi üldkujus osatuletise liige puudub ning kommutaatori kaudu saame:

${\frac {d}{dt}}\langle {\hat {x}}\rangle ={\frac {i}{\hbar }}\left\langle \left[{\hat {H}},{\hat {x}}\right]\right\rangle ={\frac {i}{\hbar }}\left\langle \left[{\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}},{\hat {x}}\right]\right\rangle$

Kuna kehtib seos $[{\hat {p}}^{2},{\hat {x}}]=-2i\hbar {\hat {p}}$, siis saame:

$m{\frac {d}{dt}}\langle {\hat {x}}\rangle =\langle {\hat {p}}\rangle$

mis on vastav klassikalise mehaanika seosele $p=mv$ impulsi jaoks.

Samamoodi, kui ${\hat {A}}={\hat {p}}$, siis:

${\frac {d}{dt}}\langle {\hat {p}}\rangle ={\frac {i}{\hbar }}\left\langle \left[{\hat {H}},{\hat {p}}\right]\right\rangle ={\frac {i}{\hbar }}\left\langle \left[V({\hat {x}}),{\hat {p}}\right]\right\rangle$

Teades, et $[V({\hat {x}}),{\hat {p}}]=-i\hbar V'({\hat {x}})$, saame:

${\frac {d}{dt}}\langle {\hat {p}}\rangle =-\langle V'({\hat {x}})\rangle$

Tuletatud liikumisvõrrandid annavad meile seose:

$m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\langle {\hat {x}}\rangle ={\frac {d}{dt}}\langle {\hat {p}}\rangle =-\langle V'({\hat {x}})\rangle$

ehk Ehrenfesti teoreem viib kujule, mis meenutab Newtoni II seadust

$m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\langle {\hat {x}}\rangle =-\langle V'({\hat {x}})\rangle$

Siin eeldame, et tegemist on konservatiive jõuväljaga, mis defineeritakse klassikalises mehaanikas kujul

$F(x)=-{\frac {dV(x)}{dx}}=-V'(x)$

Klassikalise konservatiivse jõuvälja definitsiooni põhjal avaldub potentsiaal kvantmehaanikas järgmiselt:

$F=-\left.{\frac {dV(x)}{dx}}\right|_{x=\langle {\hat {x}}\rangle }=-{\frac {dV}{dx}}(\langle {\hat {x}}\rangle )=-V'(\langle {\hat {x}}\rangle )$

See konservatiivse jõuvälja tõlgendus kvantmehaanikas erineb Ehrenfesti teoreemi põhjal tuletatust kasutatavast, sest

$\langle V'({\hat {x}})\rangle \neq V'(\langle {\hat {x}}\rangle )$

Klassikalise lähenduse kehtivus

Ehrenfesti teoreemi põhjal kehtib kvantmehaanikas liikumisvõrrandi kuju, mis meenutab klassikalist mehaanikat, juhul kui rahuldub seos

$\langle V'({\hat {x}})\rangle =V'(\langle {\hat {x}}\rangle )$

See seos kehtib vaid erijuhtudel, aga võib olla ka hea lähendus $\langle V'({\hat {x}})\rangle \approx V'(\langle {\hat {x}}\rangle )$, kui lainepakett on koondunud kitsasse piirkonda.

Kui potentsiaal on lineaarne, näiteks $V(x)=ax+b$, siis $V'(x)=a$, mis tähendab, et

$\langle V'({\hat {x}})\rangle =a=V'(\langle {\hat {x}}\rangle )$

Kui potentsiaal on ruutvõrdeline, näiteks harmoonilise ostsillaatori korral $V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}$, siis $V'(x)=m\omega ^{2}x$ ning

$\langle V'({\hat {x}})\rangle =m\omega ^{2}\langle {\hat {x}}\rangle =V'(\langle {\hat {x}}\rangle )$

Kui potentsiaal on aga kirjeldatav näiteks $V(x)={\frac {1}{4}}kx^{4}$, siis võrdsus ei kehti täpselt. Sel juhul saab potentsiaali tuletise operaatori arendada Taylori ritta

$V'({\hat {x}})=V'(\langle {\hat {x}}\rangle )+V''(\langle {\hat {x}}\rangle )({\hat {x}}-\langle {\hat {x}}\rangle )+{\frac {1}{2}}V'''(\langle {\hat {x}}\rangle )({\hat {x}}-\langle {\hat {x}}\rangle )^{2}+\cdots$

mille keskväärtus annab:

$\langle V'({\hat {x}})\rangle =V'(\langle {\hat {x}}\rangle )+{\frac {1}{2}}V'''(\langle {\hat {x}}\rangle )\sigma _{x}^{2}+\cdots$

kus $\sigma _{x}^{2}=\langle ({\hat {x}}-\langle {\hat {x}}\rangle )^{2}\rangle$ on lainepaketi dispersioon. Kui $\sigma _{x}^{2}\ll 1$, siis hajuvus on väike ja seos kehtib heas lähenduses

$\langle V'({\hat {x}})\rangle \approx V'(\langle {\hat {x}}\rangle )$

Sellisel juhul järgib osakese keskmine asukoht kvantmehaanikas ligikaudu sama trajektoori, mida ennustaks klassikaline mehaanika. Kui aga lainepakett on laiali hajunud, siis erinevus $\langle V'({\hat {x}})\rangle$ ja $V'(\langle {\hat {x}}\rangle )$ vahel kasvab ning klassikaline lähendus ei kehti.