Cauchy-Schwarzi võrratus

Allikas: Vikipeedia

Cauchy[1]-Schwarzi[2] võrratus (ka Cauchy-Schwarzi-Bunjakovski[3] võrratus) on võrratus, mis ütleb, et vektorite skalaarkorrutise moodul pole suurem vektorite pikkuste (normide) korrutisest:

kus ja vastavalt vektorite skalaarkorrutis ja pikkused ning V on mõni skalaarkorrutisega vektorruum. Võrratuse asemel on võrdus parajasti siis, kui x ja y on lineaarselt sõltuvad.

Erijuhud[muuda | muuda lähteteksti]

  • Eukleidilises ruumis kehtib:
.
  • Ruutintegreeruvate funktsioonide ruumis

Tõestuse idee[muuda | muuda lähteteksti]

Vaatame suurust , kus on suvaline kompleksarv ja x ja y vektorid. Trikk tõestuse juures juures on moodustada vektor ja arvutada selle vektori pikkus, mis ei saa olla negatiivne:

Sellest võrratusest saab tuletada Cauchy-Schwarzi võrratuse, kui leiame sobiva väärtuse. Valime väärtuse nii, et vektori pikkus võimalikult väike oleks. Sobivaks väärtuseks osutub

Asendades esimesse võrratusse näeme, et

Korrutades saadud võrratuse läbi vektori y pikkuse ruuduga ja viies skalaarkorrutise teisele poole võrratuse märki, leiame, et

millest ruutjuure võtmine annab Cauchy-Schwarzi võrratuse. Märkigem, et võrdus realiseerub parajasti siis, kui , mis tähendab, et x = - y ehk x ja y on lineaarselt sõltuvad.

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Märkmed[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Augustin-Louis Cauchy (1789–1857), prantsuse matemaatik.
  2. Hermann Amandus Schwarz (1843–1921), saksa matemaatik.
  3. Viktor Bunjakovski (1804–1889), ukraina/vene matemaatik.

Välislingid[muuda | muuda lähteteksti]

Video icon2.png Salman Khan. "LINEAR ALGEBRA » Proof of the Cauchy-Schwarz Inequality, October 09, 2009" (Khan Academy). http://khanexercises.appspot.com/.+(xHTML) Kasutatud 11.02.2011. (inglise keeles)  Litsents: CC-logo.svg