Buckinghami π teoreem

Buckinghami π teoreem on inseneriteaduses, rakendusmatemaatikas ja füüsikas oluline teoreem dimensionaalanalüüsis.

Antud teoreem on formaalsem variant Rayleigh' dimensionaalanalüüsi meetodist. Buckinghami π teoreem ütleb, et füüsikaliselt tähenduslikku n füüsikalist suurust siduvat võrrandit saab esitada läbi p = n − k dimensioonitu parameetri π₁, π₂, ..., π_p ning k on algsete algsetest füüsikalistest suurustega seotud füüsikaliste põhisuuruste arv (k langeb kokku ka dimensioonide arvuga kuna igale dimensioonile vastab põhisuurus).

Teoreem annab juhised, kuidas võrrandeid teadmata leida dimensioonita suuruseid etteantud füüsikalistest suurustest.

Teoreemi sõnastus

Olgu f(q_i) füüsikaliselt tähenduslik võrrand üldkujul

$f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0,$

kus q_i tähistavad n-i füüsikalist suurust, mida saab esitada k põhisuurusega. Sel juhul saab antud võrrandit ümber kirjutada kujul

$F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0,$

kus π_i on dimensioonitud parameetrid, mis on leitud füüsikalistest suurustest q_i vastavalt valemile p = n − k dimensioonitust võrrandist – Pi rühmast – mis avalduvad kujul

$\pi _{i}=q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}},$

kus eksponendid a_i on ratsionaalarvud.

Näide teoreemi rakendusestː matemaatilise pendli võnkumine

Määramaks matemaatilise pendli väikese amplituudiga võnkumiste perioodi T eeldame, et periood sõltub pendli nööri pikkusest L, massist M ja raskuskiirendusest g, mille dimensiooniks on pikkus jagatud aja ruuduga. Antud mudeli saab kirja panna kujul

$f(T,M,L,g)=0.$

Antud võrrandis on 3 füüsikalist suurust: aeg $t$, mass $m$ ja pikkus $\ell$ ning 4 dimensiooniga muutujat T, M, L ja g. Seega on vaja 4 − 3 = 1 dimensioonitut suurust, mida tähistades π saab mudeli kirja panna kujul

$f(\pi )=0,$

kus π on

$\pi =T^{a_{1}}M^{a_{2}}L^{a_{3}}g^{a_{4}}$

mingite a₁, ..., a₄ väärtuste korral.

Dimensiooniga suuruste dimensioonidele vastavad põhisuurused onː

$T=t,M=m,L=\ell ,g=\ell /t^{2}.$

Dimensioonide maatriks on:

$M={\begin{bmatrix}1&0&0&-2\\0&1&0&0\\0&0&1&1\end{bmatrix}}.$

(Maatriksi read vastavad põhisuurustele $t,m$, and $\ell$ ja veerud dimensiooniga muutujatele T, M, L ning g. Näiteks neljandas veerus (−2, 0, 1) on kirjas tuletatud suurse g moodustavad põhisuurused $t^{-2}m^{0}\ell ^{1}$.)

Otsime tuumavektorit a = [a₁, a₂, a₃, a₄], mis annaks maatriksi M ja tuumavektori a vektorkorrutise vastuseks nullvektori [0,0,0] ehk $M\times a=0$. Antud juhul on selliseks vektoriks:

$a={\begin{bmatrix}2\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}.$

Dimensioonitu konstandi saab avaldada kujul:

${\begin{aligned}\pi &=T^{2}M^{0}L^{-1}g^{1}\\&=gT^{2}/L\end{aligned}}.$

Põhisuurustest avaldub see:

$\pi =(t)^{2}(m)^{0}(\ell )^{-1}(\ell /t^{2})^{1}=1,$

mis on dimensioonitu.

Antud näites on analüüs lihtsam, kuna dimensiooniga muutujatest kolm on põhisuurused ja (g) avaldub antud põhisuuruste kaudu. Juhul kui vektori a teine element a₂ oleks nullist erinev puuduks võimalus maatriksi M taandamiseks ja seetõttu a₂ peab olema võrdne nulliga. Seega saab antud dimensionaalanalüüsist järeldada, et matemaatilise pendli võnkeperiood ei sõltu tema massist.

Mudel avaldub seega kujul:

$f(gT^{2}/L)=0.$

Eeldades, et f nullkohad on täisarvulised võime öelda, et gT²/L = C_n, kus C_n on nis funktsiooni f nullkoht. Kui leidub ainult üks nullkoht, siis gT²/L = C. Selgitamaks, et leidub ainult üks nullkoht, C = 4π² oleks vaja süsteemi kohta lisateadmisi.

Vaata ka

• Dimensionaalanalüüs
• Dimensioonita suurus