Bra-ket-tähistus

Bra-ket tähistus, tuntud ka kui Diraci bra-ket tähistus, on lineaaralgebra ja lineaaroperaatorite tähistus komplekssetes vektorruumides. See on loodud spetsiaalselt kvantmehaanika arvutuste lihtsustamiseks ja leiab sellel alal laialdast kasutust. Tähistus võimaldab esitada kvantolekuid ja operaatoreid.

Bra-ket tähistuse pakkus välja Paul Dirac oma 1939. aasta artiklis „A New Notation for Quantum Mechanics“, mis seadis eesmärgiks kvantmehaanika väljendamise lihtsustamise. Dirac pidas vajalikuks luua esitusviis, mis laseb lihtsasti kirja panna õigeid asju ja raskeks muuta valede üles märkimise, lisaks sellele oli uues süsteemis vaid üks viis suuruse kirja panemiseks mitme võrdväärse asemel. Tähistus sai oma nime sõnast „bracket“ (ing. k. „sulg“), sest sümbolkeel kasutab laialdaselt erinevaid sulge.

Tähistus

Kvantmehaanikas vastab igale kvantolekule olekuvektor Hilberti ruumis. Selleks, et eristada seda sorti vektoreid muudest füüsikalistest vektorsuurustest kasutatakse vektorite asemel kete.

Kvantmehaanikas ja kvantarvutuses kasutatakse bra-ket tähistust kõikjal kvantolekute märkimiseks. See tähistus kasutab noolsulge 〈 ja 〉 ning püstkriipsu $|$ , et koostada „brasid“ ja „kete“.

Ket esitatakse kujul $|v\rangle$, mis matemaatiliselt tähistab vektorit $v$ kompleksses vektorruumis $V$ ja füüsikaliselt olekut mingis kvantsüsteemis.

Bra esitatakse kujul $\langle f|$, mis matemaatiliselt tähistab lineaarkujutust $f:V\rightarrow \mathbb {C}$ ehk vektorruumi $V$ iga vektori kujutust komplekstasandile $\mathbb {C}$. Lõplike mõõtmetega vektorruumis võib ket-vektorit vaadelda veeruvektorina ja sellele vastavat bra-vektorit hermeetiliselt konjugeeritud kujul reavektorina.

Skalaarkorrutis

Bra- ja ket-vektorite abil saab kvantmehaanika komplekssetes vektorruumides moodustada skalaarkorrutise

$\langle a||b\rangle \equiv \langle a|b\rangle =[a_{11}^{*}a_{12}^{*}]{\begin{bmatrix}b_{11}\\b_{21}\end{bmatrix}}=a_{11}^{*}b_{11}+a_{12}^{*}b_{21}$,

kus esimene vektor on hermiitiliselt konjugeeritud ja seega tulemus kompleksarv. Maatriksi hermiitiliselt konjugeeritud kaasmaatriks on transponeeritud maatriks, mille elemendid on kompleksselt konjugeeritud st esialgse maatriksi kaaskompleksid $a^{\dagger }=(a^{*})^{T}$. Skalaarkorrutis võimaldab kvantmehaanikas esitada tõenäosust ja võrrelda kahte olekut. Skalaarkorrutist üles märkides ei pea kirjutama kahte püstkriipsu.

Väliskorrutis

Vastupidises järjekorras korrutades, saame väliskorrutise

$|a\rangle \langle b|={\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{bmatrix}}[b_{11}b_{12}]={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}\\a_{21}b_{11}&a_{21}b_{12}\end{bmatrix}}$,

mille tulemus on maatriks. Väliskorrutis moodustab projektsioonioperaatori, mis esindab füüsikalise suuruse mõõtmise elementaarseid sündmusi.

Norm

Vektori norm ehk pikkus on mittenegatiivne reaalarv $\||a\rangle \|={\sqrt {\langle a|a\rangle }}$

Rakendused

Kuna pea iga kvantmehaanika arvutus kasutab vektoreid ja lineaarseid operaatoreid, on bra-ket tähistus selle ala põhiliseks töövahendiks.

Lainefunktsioone ja teisi kvantolekuid saab esitada vektoritena Hilberti ruumis. Bra-ket tähistuses võib üles-spinniga elektroni olekut märkida näiteks $|\uparrow \rangle$.

Kvantolekute superpositsiooni saab esitada erinevate olekute vektorite summana. Näiteks kvantarvutuses saab olekute $|0\rangle$ ja $|1\rangle$ superpositsioonis olevat kvantbitti esitada võrdusega $|\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle$, kus $\alpha$ ja $\beta$ on kompleksarvulised tõenäosusamplituudid. Kogutõenäosus $|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1$.