Archimedese aksioom

Allikas: Vikipeedia
Mine navigeerimisribale Mine otsikasti
Achimedese aksioomi näitlik esitus. Kui tahes väikest lõiku A saab piisav arv kordi iseendaga kõrvuti asetades pikendada pikemaks etteantud lõigust B

Archimedese aksioom ütleb: mis tahes kahe suuruse korral leidub naturaalarv , mille korral .

Geomeetriliselt on Archimedese aksioom tõlgendatav nii: kui meil on sirgel kaks lõiku, siis saab neist suuremat ületada, korrates väiksemat piisav arv kordi.

Järjestatud rühma või järjestatud korpust, milles kehtib Archimedese aksioom, nimetatakse vastavalt arhimeediliseks järjestatud rühmaks või arhimeediliseks järjestatud korpuseks.

Reaalarvude korpuse puhul võetakse Archimedese aksioomi mõnikord aksioomina. Järjestatud korpuse aksioomidest ja pidevuse aksioomist (järjestatud korpuse igal mittetühjal ülalt tõkestatud alamhulgal on ülemine raja) saab järeldada, et reaalarvud on arhimeediliselt järjestatud.

Kuigi väide on nime saanud Archimedese järgi, sõnastas selle juba Eudoxos oma suurusõpetuses.[1]

Archimedese aksioomi tõestus järjestatud korpuses pidevuse aksioomi põhjal[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu

Väide: Mis tahes korral leidub naturaalarv , mille korral .

Vastuväide: Leidub , mille korral kõigi naturaalarvude korral.

Vastuväitest järeldub, et on kõikide naturaalarvude korral ülemine tõke. Koos pidevuse aksioomiga järeldub sellest, et eksisteerib vähim ülemine tõke . Kui aga kõikide naturaalarvude korral, siis ka ning siis ka kõikide naturaalarvude korral. Ent siis on ülemiseks tõkkeks ka . Et , siis järelikult ei ole vähim ülemine tõke, mis on vastuolus definitsiooniga. Järelikult peab vastuväide olema väär ja väide on tõestatud.

Järeldused Archimedese aksioomist[muuda | muuda lähteteksti]

Iga arvu korral leidub nii, et ja . Sellest järeldub: iga korral leidub üheselt määratud arv , mille korral

Seejuures tähistatakse arvu x täisosa tähisega või . Samuti eksisteerib üheselt määratud arv , mille korral

;

seda tähistatakse või . Seetõttu kehtib ka: mis tahes korral leidub , mille korral ja seetõttu ka . Matemaatilises analüüsis on see seos kasulik näiteks jada koonduvuse või hajuvuse tõestamisel.

Archimedese aksioomist järeldub ka, et kahe reaalarvu korral leidub alati ratsionaalarv , mille korral , ning et maturaalarvude hulk korpuses ei ole ülalt tõkestatud.

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Eukleides. [[Elemendid (Eukleides)|]], V, definitsioon 4: "Et neil on omavahel suhe, öeldakse suuruste kohta, mis mitmekordistatutena üksteist ületavad."