Abeli-Ruffini teoreem

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search

Abeli-Ruffini teoreem ehk Abeli teoreem algebralistest võrranditest ehk Abeli võimatuse teoreem on teoreem, mis väidab, et 5. ja kõrgema astme algebralistel võrranditel puuduvad algebraliste avaldistena esitatavad üldlahendid.[1] Selle kohta öeldakse ka, et nad ei ole radikaalides lahenduvad ehk neil puuduvad algebralised lahendid.

Algebra põhiteoreemi järgi on kõigil algebralistel võrranditel olemas kompleksarvulised lahendid. Abeli-Ruffini teoreem väidab, et kõrgema kui neljanda astme algebraliste võrrandite puhul ei saa anda üldisi valemeid võrrandite kordajatest ning ratsionaalarvulistest konstantidest lahendite arvutamiseks aritmeetiliste tehete ja juurimise abil (ega ka algoritmi sobiva avaldise leidmiseks, sest kõiki selliste võrrandite lahendeid ei saa võrrandi kordajatest niimoodi avaldada). Lahendid on arvutusmeetodite, näiteks Newtoni meetodi või Laguerre'i meetodi abil saada mis tahes täpsusega.

Mõnel kõrgemat järku võrrandil on lahendeid, mida saab aritmeetiliste tehete ja juurimise teel avaldada. Näiteks võrrandil on lahend .

Analüütiliselt saab lahendada homogeenseid võrrandeid ja sümmeetrilisi võrrandeid.

Triviaalselt on radikaalides lahenduvad võrrandid, mille kõik juured on ratsionaalarvud, sest neid saab esitada ratsionaalarvuliste konstantidena. Lihtsaim mittetriviaalne näide on võrrand Mall:Math, kus Mall:Math on positiivne reaalarv. Sel on Mall:Math lahendit:

Avaldis , mis sisaldab eksponentsiaalfunktsiooni, annab tegelikult lihtsalt eri väärtused (n-indad ühejuured), nii et asi taandub juurimisele.


Esitus Galois' teoorias[muuda | muuda lähteteksti]

Galois' teooria kirjeldab polünoomide juurte permutatsioonide rühma.

Abeli-Ruffini teoreemi tõestamiseks tõestatakse kaks väidet:

Ajalugu[muuda | muuda lähteteksti]

Paolo Ruffini, Teoria generale delle equazioni, 1799

Teoreemi esimese tõestuse avaldas 1799 Paolo Ruffini. Tõestuses olid mõned ebatäpsused.

Aastal 1824 avaldas täieliku tõestuse Niels Henrik Abel.

Évariste Galois tõestas teoreemi sõltumatult töös, mis avaldati postuumselt 1846.[2] Galois' teooria võimaldas anda tõestusele tänapäevase kuju.

Märkused[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Jacobson 2009:211.
  2. Évariste Galois. OEuvres mathématiques d'Évariste Galois. – Journal des mathématiques pures et appliquées, 1846, XI, lk 381–444.

Kirjandus[muuda | muuda lähteteksti]

Välislingid[muuda | muuda lähteteksti]


Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]