Transponeeritud maatriks

Lineaaralgebras nimetatakse maatriksi A transponeeritud maatriksiks A^T (või A^tr, ^tA või A′) maatriksit, mis saadakse A ridade ja veergude vahetamisel. Viimast tehet nimetatakse maatriksi transponeerimiseks.

Näited

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;$

Definitsioon

m×n-maatriksi A transponeeritud maatriks A^T on n×m-maatriks

$A^\mathrm{T}_{ij} = A_{ji}$, kus $1 \le i \le n,$ $1 \le j \le m.$

Omadused

Olgu A ja B maatriksid ning c on skalaar, siis kehtib

1. $\left( A^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = A \quad \,$

   Transponeerimine on iseenda pöördteisendus.

2. $(A+B) ^\mathrm{T} = A^\mathrm{T} + B^\mathrm{T} \,$
3. $(c A)^\mathrm{T} = c A^\mathrm{T} \,$

   Koos punktiga (2) tähendab see, et transponeerimine on lineaarne operaator m×n-maatriksite ruumist n×m-maatriksite ruumi.

4. $\left( A B \right) ^\mathrm{T} = B^\mathrm{T} A^\mathrm{T} \,$

   Paneme tähele, et tegurite järjekord muutus vastupidiseks. Sellest võib järeldada, et ruutmaatriks A on pööratav parajasti siis, kui A^T on pööratav, kusjuures sel juhul kehtib (5). Matemaatilise induktsiooni teel saab näidata, et (ABC...XYZ)^T = Z^TY^TX^T...C^TB^TA^T.

5. $(A^\mathrm{T})^{-1} = (A^{-1})^\mathrm{T} \,$

   pöördelemendi võtmise ja transponeerimise tehe kommuteeruvad

6. $\det(A^\mathrm{T}) = \det(A) \,$

   Transponeerimine maatriksi determinant ei muuda.

7. Kui on A reaalarvuliste elemenitega maatriks, siis A^TA on positiivne osaliselt määratud maatriks.
8. Kui maatriksi A elemendid on korpuse elemendid, siis A ja A^T on sarnased maatriksid.
9. Veeruvektorite a ja b skalaarkorrutis avaldub kui

   $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},$

Tõestus
1. $(A^\mathrm{T})^\mathrm{T}_{ij} = A^\mathrm{T}_{ji} = A_{ij}$
2. $(A^\mathrm{T} + B^\mathrm{T})_{ij} = A^\mathrm{T}_{ij} + B^\mathrm{T}_{ij} = A_{ji} + B_{ji} = (A + B)_{ji} = (A + B)^\mathrm{T}_{ij}$
3. $(c A)^\mathrm{T}_{ij} = c A_{ji} = c A^\mathrm{T}_{ij} \,$
4. $\left( A B \right) ^\mathrm{T}_{ij} = \left( A B \right)_{ji} = \sum_k A_{jk} B_{ki} = \sum_k B_{ki} A_{jk} = \sum_k B^\mathrm{T}_{ik} A^\mathrm{T}_{kj} = (B^\mathrm{T} A^\mathrm{T})_{ij}\,$

Transponeerimise kaudu defineeritavaid maatriksitüüpe

• Sümmeetrilised maatriksid : A^T = A
• Kaldsümmeetrilised maatriksid : A^T = -A
• Ortogonaalsed maatriksid : A^T = A^-1

Rakendus

C++ mall

#include <vector>
using namespace std;
 
template<class tyyp> void xorVahetus(tyyp& x, tyyp& y){
  if (x != y) {
    *x ^= *y;
    *y ^= *x;
    *x ^= *y;
  }
}
 
template<class tyyp> void Transponeeri(vector< vector<tyyp> >& m){
   tyyp s = m.size();    
   for(tyyp i = 0;i < s; ++i){
       for(tyyp j = 0; j < i; ++j){
              xorVahetus(m[i][j],m[j][i]);     
       }
   }
}

Vaata ka

• Maatriks
• Ruutmaatriks
• Skalaar
• Determinant
• Ühikmaatriks
• XOR_vahetus_algoritm

Välislingid

• MIT Video Loeng Maatriksite transponeerimise kohta Google Video'des