Transponeeritud maatriks

Allikas: Vikipeedia

Lineaaralgebras nimetatakse maatriksi A transponeeritud maatriksiks AT (või Atr, tA või A′) maatriksit, mis saadakse A ridade ja veergude vahetamisel. Viimast tehet nimetatakse maatriksi transponeerimiseks.

Näited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  • \begin{bmatrix}
1 & 2  \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3  \\
2 & 4 \end{bmatrix}
  • 
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}  \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;

Definitsioon[muuda | redigeeri lähteteksti]

m×n-maatriksi A transponeeritud maatriks AT on n×m-maatriks

A^\mathrm{T}_{ij} = A_{ji}, kus  1 \le i \le n, 1 \le j \le m.

Omadused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Olgu A ja B maatriksid ning c on skalaar, siis kehtib

  1. \left( A^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = A \quad \,
    Transponeerimine on iseenda pöördteisendus.
  2. (A+B) ^\mathrm{T} = A^\mathrm{T} + B^\mathrm{T} \,
  3. (c A)^\mathrm{T} = c A^\mathrm{T} \,
    Koos punktiga (2) tähendab see, et transponeerimine on lineaarne operaator m×n-maatriksite ruumist n×m-maatriksite ruumi.
  4. \left( A B \right) ^\mathrm{T} = B^\mathrm{T} A^\mathrm{T} \,
    Paneme tähele, et tegurite järjekord muutus vastupidiseks. Sellest võib järeldada, et ruutmaatriks A on pööratav parajasti siis, kui AT on pööratav, kusjuures sel juhul kehtib (5). Matemaatilise induktsiooni teel saab näidata, et (ABC...XYZ)T = ZTYTXT...CTBTAT.
  5. (A^\mathrm{T})^{-1} = (A^{-1})^\mathrm{T} \,
    pöördelemendi võtmise ja transponeerimise tehe kommuteeruvad
  6. \det(A^\mathrm{T}) = \det(A) \,
    Transponeerimine maatriksi determinant ei muuda.
  7. Kui on A reaalarvuliste elemenitega maatriks, siis ATA on positiivne osaliselt määratud maatriks.
  8. Kui maatriksi A elemendid on korpuse elemendid, siis A ja AT on sarnased maatriksid.
  9. Veeruvektorite a ja b skalaarkorrutis avaldub kui
     \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},
Tõestus
1. (A^\mathrm{T})^\mathrm{T}_{ij} = A^\mathrm{T}_{ji} = A_{ij}
2. (A^\mathrm{T} + B^\mathrm{T})_{ij} = A^\mathrm{T}_{ij} + B^\mathrm{T}_{ij} = A_{ji} + B_{ji} = (A + B)_{ji} = (A + B)^\mathrm{T}_{ij}
3. (c A)^\mathrm{T}_{ij} = c A_{ji} = c A^\mathrm{T}_{ij} \,
4. \left( A B \right) ^\mathrm{T}_{ij} = \left( A B \right)_{ji} = \sum_k A_{jk} B_{ki} = \sum_k B_{ki} A_{jk} = \sum_k B^\mathrm{T}_{ik} A^\mathrm{T}_{kj} = (B^\mathrm{T} A^\mathrm{T})_{ij}\,

Transponeerimise kaudu defineeritavaid maatriksitüüpe[muuda | redigeeri lähteteksti]

Rakendus[muuda | redigeeri lähteteksti]

C++ mall[muuda | redigeeri lähteteksti]

#include <vector>
using namespace std;
 
template<class tyyp> void xorVahetus(tyyp& x, tyyp& y){
  if (x != y) {
    *x ^= *y;
    *y ^= *x;
    *x ^= *y;
  }
}
 
template<class tyyp> void Transponeeri(vector< vector<tyyp> >& m){
   tyyp s = m.size();    
   for(tyyp i = 0;i < s; ++i){
       for(tyyp j = 0; j < i; ++j){
              xorVahetus(m[i][j],m[j][i]);     
       }
   }
}

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]

Välislingid[muuda | redigeeri lähteteksti]