Topoloogiline ruum

Topoloogiline ruum on üks matemaatika põhimõisteid, eukleidilise ruumi ja meetrilise ruumi üldistus. Topoloogilistele ruumidele üldistuvad ka paljud matemaatilise analüüsi mõisteid, sealhulgas koonduvus, pidevus ja sidusus.

Topoloogilisi ruume uurib matemaatika haru üldtopoloogia. Seda mõistet kasutatakse paljudes teistes matemaatika harudes.

Kui kontekstist on selge, et jutt on topoloogilisest ruumist, kasutatakse tihti lihtsalt sõna "ruum".

Definitsioon

Topoloogilist ruumi defineeritakse mitmel ekvivalentsel moel. Levinuima definitsiooni puhul võetakse algmõisteks lahtise hulga mõiste.

Definitsioon lahtiste hulkade kaudu

Topoloogiliseks ruumiks nimetatakse järjestatud paari $(X; \tau)$, kus $X$ on mingi mittetühi hulk ning $\tau$ on hulga $X$ alamhulkade hulk, mis rahuldab järgmisi tingimusi:

1. tühi hulk ja hulk X kuuluvad hulka $\tau$,
2. iga kahe hulka $\tau$ kuuluva alamhulga ühisosa kuulub hulka $\tau$,
3. ükskõik kui paljude hulka $\tau$ kuuluvate alamhulkade ühend kuulub hulka $\tau$.

Hulka $\tau$ nimetatakse topoloogilise ruumi $(X; \tau)$ topoloogiaks ning kogumi $\tau$ elemente lahtisteks hulkadeks topoloogilises ruumis $(X; \tau)$. Lahtise hulga täiendit hulgani X nimetatakse kinniseks hulgaks topoloogilises ruumis $(X; \tau)$. Kui on selge, missugust topoloogiat hulgal $X$ vaadeldakse, siis võidakse topoloogilist ruumi $(X; \tau)$ tähistada ka lihtsalt tähisega $X$.

Olgu $\tau_1$ ja $\tau_2$ topoloogiad hulgal $X$. Öeldakse, et topoloogia $\tau_1$ on tugevam kui topoloogia $\tau_2$ (ehk topoloogia $\tau_2$ on nõrgem kui topoloogia $\tau_1$), kui $\tau_2 \subset \tau_1$.

Definitsioon kinniste hulkade kaudu

Topoloogilise ruumi saab määratleda ka kinniste hulkade kaudu:

Topoloogiliseks ruumiks nimetatakse järjestatud paari $(X; \kappa)$, kus $X$ on mingi mittetühi hulk ning $\kappa$ on hulga $X$ alamhulkade hulk, mis rahuldab järgmisi tingimusi:

1. tühi hulk ja hulk X kuuluvad hulka $\kappa$,
2. iga kahe hulka $\tau$ kuuluva alamhulga ühend kuulub hulka $\kappa$,
3. ükskõik kui paljude hulka $\kappa$ kuuluvate alamhulkade ühisosa kuulub hulka $\tau$.

Hulka $\kappa$ kuuluvaid alamhulki nimetatakse kinnisteks hulkadeks ning hulga $\kappa$ elementide täiendeid lahtisteks hulkadeks topoloogilises ruumis $(X; \kappa)$.

Lihtne on veenduda, et topoloogilise ruumi määratlus kinniste hulkade kaudu on samaväärne topoloogilise ruumi määratlusega lahtiste hulkade kaudu — see tähendab, et iga $X$, $\tau$ ja $\kappa$ korral $(X; \tau)$ on topoloogiline ruum esimese määratluse järgi ning $\kappa$ on topoloogilise ruumi $(X; \tau)$ kõigi kinniste hulkade hulk esimese määratluse järgi parajasti siis, kui $(X; \kappa)$ on topoloogiline ruum teise määratluse järgi ning $\tau$ on topoloogilise ruumi $(X; \kappa)$ kõigi lahtiste hulkade hulk teise määratluse järgi.

Näiteid

Triviaalne topoloogia ja diskreetne topoloogia

Olgu $X$ mistahes mittetühi hulk. Siis $\{\empty; X\}$ on topoloogia hulgal $X$. Seda topoloogiat nimetatakse triviaalseks topoloogiaks hulgal $X$. Tegu on nõrgima topoloogiaga hulgal $X$.

Samamoodi on mistahes mittetühja hulga $X$ korral hulk $2^X$ (hulga $X$ kõigi alamhulkade hulk) topoloogia hulgal $X$; teda nimetatakse diskreetseks topoloogiaks hulgal $X$. Ilmselt on tegu tugevaima topoloogiaga hulgal $X$.

Kolõplik topoloogia

Olgu $X$ mistahes mittetühi hulk ning $A$ tema kõigi lõplike alamhulkade hulk. Siis

$\{\empty; X\} \cup \{U\!\subset\!X \ |\ X \!\setminus\!U \in A$\}

on topoloogia hulgal $X$; seda nimetatakse kolõplikuks topoloogiaks hulgal $X$.

Meetriline ruum topoloogilise ruumina

Olgu $(X; \rho)$ meetriline ruum. Tähistame $B(a, r)$ abil lahtist kera keskpunktiga $x$ ja raadiusega $r$, s. o.

$B(a, r) := \{ x \in X \ |\ \rho(x, a) < r \}$

iga $a \in X, r > 0$ korral. Siis

$\{ U \subset X\ |\ \forall \, a \in U \ \exists \, r > 0 \ : \ B(a, r) \subset U\}$

on topoloogia hulgal $X$ — see on kauguse $\rho$ poolt määratud topoloogia hulgal $X$.

Kaks erinevat kaugust ühel hulgal võivad määrata ühe ja sama topoloogia.

Topoloogilist ruumi, mida saab vaadelda meetrilise ruumina, s. o. millel saab määratleda niisuguse kauguse, mis määrab selle topoloogilise ruumi topoloogia, nimetatakse metriseeruvaks topoloogiliseks ruumiks.

Kui $(X; \rho)$ on meetriline ruum, $\tau_X$ on kauguse $\rho$ poolt määratud topoloogia hulgal X ning $A$ on hulga $X$ mittetühi alamhulk, siis kauguse $\rho$ poolt hulgal $A$ määratud topoloogia on hulga $A$ alamruumi topoloogia topoloogilises ruumis $(X; \tau_X)$.

Loomulik topoloogia lõplikumõõtmelistes vektorruumides

Arvuhulgad $\mathbb{R}$ ja $\mathbb{C}$ on normeeritud ruumid loomuliku normi $\left\|x\right\| = |x|$ suhtes ja seega meetrilised ruumid sellele normile vastava loomuliku kauguse $\rho(x, y) = | x - y |$ suhtes, kus || tähistab reaalarvude puhul absoluutväärtust ja kompleksarvude puhul moodulit. Selle kauguse poolt määratud topoloogiat nimetatakse loomulikuks topoloogiaks vastaval arvuhulgal. Näiteks hulga $\mathbb{R}$ loomulik topoloogia on väljakirjutatuna

$\{ U \subset \mathbb{R}\ |\ \forall \, a \in U \ \exists \, \epsilon > 0 \ : (a-\epsilon, a+\epsilon) \subset U\}$.

Olgu $\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$ ja $n \in \mathbb{N}$. Osutub, et iga kahe normi $\left\|\cdot\right\|_1$ ja $\left\|\cdot\right\|_2$ korral vektorruumil $\mathbb{K}^n$ (üle korpuse $\mathbb{K}$) kummalegi normile vastavate kauguste poolt määratud topoloogiad ühtivad. Nii võib määratleda loomuliku topoloogia hulkadel $\mathbb{K}^n$ kui mistahes normeeritud ruumi $(\mathbb{K}^n; \left\|\cdot\right\|)$ normile vastava kauguse poolt määratud topoloogia.

Kui $A$ on mingi hulga $\mathbb{K}^n$ mittetühi alamhulk ja $\tau$ on loomulik topoloogia hulgal $\mathbb{K}^n$, siis hulga $A$ loomulikuks topoloogiaks nimetame tema alamruumi topoloogiat topoloogilises ruumis $(\mathbb{K}^n; \tau)$. Kui mingi kaugus $\rho$ määrab loomuliku topoloogia hulgal $\mathbb{K}^n$, siis määrab ta ka loomuliku topoloogia hulgal $A$. Näiteks kaugus $\rho(x, y) = | x - y |$ määrab loomuliku topoloogia kõigi naturaalarvude hulgal $\mathbb{N}$ või lõigul $[a, b]$. Seejuures osutub kõigi naturaalarvude hulga loomulik topoloogia diskreetseks topoloogiaks.

Üks (mitteloomulik) naturaalarvude topoloogia

Tähistame iga $k \in \mathbb{N}$ korral $A_k := \{k,\ k+1,\ k+2,\ ...\}$. Siis

$\{\empty\} \cup \{A_k\ |\ k \in \mathbb{N}\}$

on topoloogia hulgal $\mathbb{N}$.

Vaata ka

• Baas
• Eralduvusaksioomid