Poolus (kompleksmuutuja funktsiooniteooria)

Gammafunktsiooni $\Gamma(z)$ moodul. Vasakul (Re z<0) on funktsioonil poolused, nendes ta läheneb lõpmatusele. Paremal (Re z>0) pooluseid ei ole, funktsioon on kõikjal lõplik.

Isoleeritud iseärast punkti $z_0$ nimetatakse funktsiooni $f(z)$ pooluseks, kui selle funktsiooni arenduses Laurenti ritta punkti $z_0$ punkteeritud ümbruses sisaldab negatiivne osa lõpliku arvu nullist erinevaid liikmeid, st

$f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} {f_k}(z-z_0)^k = P(z)+f_{-n}(z-z_0)^{-n}+ \ldots + f_{-1}(z-z_0)^{-1}$, kus $P(z)$ on positiivne osa.

Kui $f_{-n} \ne \ 0$, siis $z_0$ nimetatakse $n$-järku pooluseks. Kui $n=1$, siis poolust nimetatakse lihtsaks.

Pooluse määramise kriteeriumid

1. Punkti $z_{0}$ on poolus siis ja ainult siis, kui $\lim_{z \to {z_0}}f(z) = \infty$.
2. Punkti $z_{0}$ on $k$-järku poolus siis ja ainult siis, kui $\lim_{z \to {z_0}}f(z)(z-z_0)^{k-1} = \infty$, а $\lim_{z \to {z_0}}f(z)(z-z_0)^k \ne \infty$.
3. Punkt $z_{0}$ on $k$-järku poolus siis ja ainult siis, kui ta on funktsiooni $F(z)=\frac{1}{f(z)}$ $k$-järku nullkoht.

Vaata ka

• Nullkoht
• Kõrvaldatav iseärane punkt
• Oluliselt iseärane punkt