Poolus (kompleksmuutuja funktsiooniteooria)

Allikas: Vikipeedia
Gammafunktsiooni \Gamma(z) moodul. Vasakul (Re z<0) on funktsioonil poolused, nendes ta läheneb lõpmatusele. Paremal (Re z>0) pooluseid ei ole, funktsioon on kõikjal lõplik.

Isoleeritud iseärast punkti z_0 nimetatakse funktsiooni f(z) pooluseks, kui selle funktsiooni arenduses Laurenti ritta punkti z_0 punkteeritud ümbruses sisaldab negatiivne osa lõpliku arvu nullist erinevaid liikmeid, st


f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} {f_k}(z-z_0)^k = P(z)+f_{-n}(z-z_0)^{-n}+ \ldots + f_{-1}(z-z_0)^{-1}
, kus P(z) on positiivne osa.

Kui f_{-n} \ne \ 0 , siis z_0 nimetatakse n-järku pooluseks. Kui n=1, siis poolust nimetatakse lihtsaks.

Pooluse määramise kriteeriumid[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. Punkti z_{0} on poolus siis ja ainult siis, kui  \lim_{z \to {z_0}}f(z) = \infty .
  2. Punkti z_{0} on k-järku poolus siis ja ainult siis, kui  \lim_{z \to {z_0}}f(z)(z-z_0)^{k-1} = \infty , а  \lim_{z \to {z_0}}f(z)(z-z_0)^k \ne \infty .
  3. Punkt z_{0} on k-järku poolus siis ja ainult siis, kui ta on funktsiooni F(z)=\frac{1}{f(z)} k-järku nullkoht.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]