Matemaatiline pendel

Matemaatilise pendli sumbuvuseta väikese amplituudiga võnkumine on lihtharmooniline

Matemaatiline pendel on pendli idealiseeritud mudel. See koosneb venimatu ja massitu niidi otsa riputatud punktmassist ("kuulikesest"), mis liigub etteantud tasandis ja kus puuduvad summutavad jõud.

Matemaatilise pendli võnkumine

Matemaatilise pendli võnkumisel väikese amplituudiga võib pendli liikumist lugeda lähedaseks lihtharmoonilise võnkumisega. Matemaatilise pendli võnkumist kirjeldab järgnev diferentsiaalvõrrand:

$g\,{\ddot {\theta }}=-l\sin \theta ,$

kus

• $g$ on raskuskiirenduse suurus,
• $l$ on pendli niidi pikkus,
• $\theta$ on pendli niidi nurk vertikaalist,
• ${\ddot {\theta }}$on antud nurga muutuse kiirendus ehk nurkkiirendus.

Väikese amplituudiga võnkumiste korral on ka maksimaalne nurk tasakaaluasendist nullilähedaste väärtustega. Nullilähedaste nurkade korral kehtib ligikaudne seos sin θ ≈ θ ja diferentsiaalvõrrand saab kuju:

$g\,{\ddot {\theta }}=-l\,\theta ,$

mis teeb nurkkiirenduse ${\ddot {\theta }}$ võrdeliseks nurga suurusega $\theta$.

${\ddot {\theta }}=-{\frac {l}{g}}\theta ,$

Diferentsiaalvõrrandi järgi saab määrata matemaatilise pendli võnkeperioodi. Matemaatilise pendli ringsageduse väärtus on

$\omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}}$.

Pikkusega l pendli võnkeperioodi annab valem:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$.

Valemist on näha, et pendli võnkeperiood ei sõltu võnkeamplituudist ega pendli massist. Võnkeperiood sõltub raskuskiirendusest $g$ ja pendli pikkusest, mistõttu sama pikkusega pendlil on Kuul pikem võnkeperiood kui Maal, kuna raskuskiirendus Kuul on väiksem. Kuna raskuskiirenduse $g$ väärtus on Maa eri paigus erineb, on sama pikkusega pendli võnkeperiood samuti erinev. Seetõttu kasutatakse pendli võnkeperioodi mõõtmisi ka rauamaagi, nafta, gaasi ja muude maavarade potentsiaalsete asukohtade määramiseks.

Vaata ka

• Füüsikaline pendel
• Lihtharmooniline võnkumine