Liitintress

Efektiivsed intressimäärad

20% aastase intressi teenimise efekt erinevate liitumise sageduste korral. Põhisumma on 1000 $

Liitintress on intress, mis arvutatakse laenu või deposiidi põhisummalt ja sellele lisandunud eelmiste perioodide kogunenud intressidelt. Liitintress on tulemuseks, kui intress reinvesteeritakse, selle asemel et see välja maksta.

Albert Einsteinile omistatakse sageli ütlust "Liitintress on kaheksas maailmaime. Kes sellest aru saab, teenib seda. Kes ei saa, maksab seda". Ei ole mingit viidet või tõendusmaterjali, et Einstein seda päriselt öelnud oleks, aga tähenduslik on see tsitaat sellegipoolest.

Liitintressi võib võrrelda lihtintressiga, mille puhul varasema perioodi intressi ei lisata põhisummale, seega liitintressi efekti ei teki. Lihtintressimäär on perioodi intress korrutatud perioodide arvuga. Seda nimetatakse ka vahel nominaalseks intressimääraks (sama nimetust kannab ka inflatsiooni mittearvestav intressimäär, mis võib tekitada segadust). Liitintressi arvutatakse nii:

$P'=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}$,

kus

P on algne põhisumma;

P' on uus põhisumma;

r on intressimäär;

n on põhisumma ümberarvutamise sagedus (näiteks kui r on intressimäär aastas, aga liitintressi arvutatakse iga kuu, siis n = 12);

t on aeg, mille jooksul intressi akumuleerumist vaadeldakse. t ühik on sama, millise ajaühiku kohta on antud intressimäär r.

Liitumise sagedus

Liitumise sagedus näitab, mitu korda aastas (või mõne muu ajaühiku jooksul) kogunenud intressi regulaarselt välja makstakse või kapitaliseeritakse. Levinud sagedused on üks, kaks või neli korda aastas; kord kuus; iga nädal; iga päev või pidev liitumine. Näiteks kui intress makstakse välja kord kuus ja intressimäär on selle aasta kohta, tähendab see, et liitumise sagedus on 12 ning perioodi mõõdetakse kuudes. Liitumise efekt sõltub

• kehtivast nominaalsest intressimäärast,
• intressi arvutamise sagedusest.

Liitintressi kalkulaator on töövahend, mis võimaldab liitintressi efekti arvesse võttes investeeringute väljamaksete või laenumaksete suurusi arvutada.

Iga-aastane maksemäär

Nominaalne intressimäär ei võimalda eri finantsinstrumente üksüheselt võrrelda, kui neil on erinevad liitumise sagedused. Arvesse tuleb võtta mõlemat suurust (ja võimalikke muid kulusid). Paremaks võrdlemiseks on tuletatud suurus nimega iga-aastane maksemäär või krediidi kulukuse määr. Et tarbijatel oleks eri laene ja muid instrumente lihtsam omavahel võrrelda, on paljudes riikides finantsteenuste pakkujatel kohustuslik näidata nende krediidi kulukuse määrasid (näiteks aastane protsendimäär, aastane ekvivalentmäär, efektiivne intressimäär). Krediidi kulukuse määr näitab keskmiselt, kui palju aastas finantsinstrumendi kohta intressi koguneb. Selle arvutamisel on kaks aspekti.

1. Määr on tavaline liitintress, mis on (ümber) arvutatud aastase perioodi jaoks.
2. Peale intressi võib esineda ka muid kulusid, näiteks maksud, haldustasud, lepingutasud, mida arvestatakse samuti.

Liitintressi näiteid

• 1000 Brasiilia reaali (BRL) paigutatakse hoiusele, mille eest makstakse hoiustajale 20% intressi aastas. Esimese aasta lõpus lisandub hoiustaja kontole intress 1000 × 20% = 200 BRLi (ehk 1000 × 0,2). Kui intressi kontolt välja ei võeta, vaid lisatakse see algsele põhisummale, siis järgmisel aastal arvutatakse 20% juba 1200 BRLi pealt, seega teise aasta intressitulu on 1200 × 20% = 240 BRLi.
• Intressimäär 1% kuus on võrdne lihtintressimääraga 12% aastas, kuid lubades intresside liitumise efekti, saame aastaseks maksemääraks 12,68% (1,01¹² − 1).
• Hüpoteeklaenude makseid arvutatakse (st rakendatakse liitintressi valemit) tüüpiliselt kaks korda aastas, kusjuures maksed toimuvad iga kuu. Nii on see ka näiteks Kanadas.
• Vahel on matemaatiliselt lihtsam, näiteks tuletisinstrumendi väärtuse arvutamisel, kasutada pidevat liitintressi. See on liitintressi kui funktsiooni piirväärtus, kus intresside liitumise sagedus läheneb lõpmatusele, st liitintressi arvutamine toimub ajas pidevalt.

Laenude intressimäärade matemaatika

Vaata ka: Raha ajaväärtus

Perioodiline liitumine

Perioodi jooksul kogunenud vara kokku, kaasa arvatud põhisumma, saadakse valemiga

$P'=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}$

(Valem ja tähiste selgitused antud ka eespool)

Kogu vaadeldava perioodi liitintress on lõppväärtuse ja algse põhisumma vahe:

$I=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}-P$

Näide 1

Oletagem, et 1500 € hoiustatakse pangas põhisummana, mis teenib aastast intressi 8%. Liitintressi arvutamise periood on kaks korda aastas.
Seega saab konto seisu peale nelja aastat leida ülaltoodud valemit nii kasutades: P = 1500, r = 0,08 (8%), n = 2 ja t = 4:

$P'=1500\times \left(1+{\frac {0.08}{2}}\right)^{2\times 4}\approx 2052.85$

Uus põhisumma $P'$ peale kuut aastat on ligikaudu 2052.85 €.

Lahutades sellest algse põhisumma, saame teada kogutud intressisumma:

$2052.85-1500=552.85$

Näide 2

Oletagem, et samalt summalt – 1500 € – arvutatakse liitintressi iga kahe aasta järel.
Seega saab kogusumma kuue aasta järel leida samuti eeltoodud valemiga, kusjuures algandmed on nüüd P = 1500, r = 0,043 (4.3%), n = 1/2 (intressi arvutatakse üks kord kahe aasta jooksul) ning t = 6:

$P'=1500\times \left(1+(0,043\times 2)\right)^{\frac {6}{2}}\approx 1921,24$

Kontojääk on kuue aasta järel 1921,24 €.

Lahutades sellest algse põhisumma, saame teada kogutud intressisumma:

$1921,24-1500=421,24$

Intressisumma on võrreldes eelmise näitega väiksem, sest liitumise sagedus on samuti väiksem.

Akumulatsioonifunktsioon

Kuna põhisumma P on valemis lihtsalt koefitsient, siis sageli jäetakse see lihtsuse mõttes ära. Kasutatakse järele jäänud akumulatsioonifunktsiooni. See funktsioon näitab, kui palju kasvab üks ühik mistahes vaadeldava ajaperioodi t jooksul. Akumulatsioonifunktsioonid liht- ja liitintressi jaoks on

$a(t)=1+tr\,$

$a(t)=\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}$

Pidev liitumine

Vaata ka: Eksponentsiaalne kasv

Kui n, iga-aastane liitintressi arvutamise sagedus, kasvab lõpmata suureks, siis nimetatakse seda pidevaks liitintressiks. Võtame selle piltlikustamiseks näite võimalikult lihtsate arvudega. Vaatame, kuidas kasvab 1 euro ühe aastaga, kui intressimäär on 100% ja sagedus 1. Olgu põhisumma P = 1, r = 1 (100%), n = 1 ja t = 1.

$P'=1\left(1+{\frac {1}{1}}\right)^{1}=2$

Kui jätta muud tingimused samaks ja suurendada vaid intressi arvutamise sagedust ning arvutada kaks korda aastas, saame

$P'=1\left(1+{\frac {1}{2}}\right)^{2}=2,25$

Arvutame intressi korra kvartalis (n = 4) ja saame

$P'=1\left(1+{\frac {1}{4}}\right)^{4}\approx 2,44$

Esmapilgul võib jääda mulje, justkui oleks võimalik selliselt arvutamise sagedust suurendades lõpmatult lõpptulemust kasvatada, kuid näiteks iga päev arvutades (n = 365) saame

$P'=1\left(1+{\frac {1}{365}}\right)^{365}\approx 2,715$

Kui n läheneb lõpmatusele, siis summa P' läheneb arvule e. Efektiivne aastane intressimäär läheneb sellisel juhul ülempiirile e^r − 1, kus e on matemaatiline konstant, mis on naturaallogaritmi alus. Kogusumma peale t perioodi möödumist ja pideva liitintressi rakendamist saab seega arvutada põhisumma P₀ kaudu valemiga

$P(t)=P_{0}e^{rt}.$

Pideva liitintressi kasutamise võimalusi

Valemit

$P(t)=P_{0}e^{rt}.$

on lihtne kasutada nii P kui ka P₀ arvutamiseks. Olgu meil näiteks põhisumma 100 € ja intressimäär 8%, siis kolme aasta pärast on kogusumma

$P=100e^{0.08\times 3}\approx 127,12$ €.

Kui on teada, et saame kolme aastaga pideva liitintressi arvutamise teel 100 €, kusjuures intressimäär on 6%, siis investeeringu hetkväärtuseks HV saame

$HV=100e^{-0.06\times 3}\approx 83,53$ €.

Veel üks pideva liitintressi häid omadusi on skaleeritavus üle erinevate perioodide. Kui intressimäär esimesel perioodil on 4% mingis teadmata ajaühikus ja teisel 3% samuti teadmata ajaühikus, siis alustades 100 euroga, kui see kasvab 120 euroni esimese aasta lõpuks ja 150 euroni teise aasta lõpuks, saame leida aastased liitintressimäärad

$ln{\frac {120}{100}}\approx 18,23\%.$ ja

$ln{\frac {150}{120}}\approx 22,31\%.$

Kui need kokku liita, saame kogu intressimääraks 40,55%, kuid sama oleksime ka saanud lihtsalt alg- ja lõppseisu arvestades.

$ln{\frac {150}{100}}\approx 40,55\%.$

Liitintress on ajas püsiv, kuid ajas püsivus on oluline komponent riskihalduses. See tähendab, et kui üksiku perioodi intressimäär on normaaljaotusega juhuslik muutuja, siis tahame, et ka mitme perioodi juhuslikud muutujad oleksid normaaljaotusega. Mitme perioodi pideva liitintressiga arvutatud intressimäär ongi normaaljaotusega, erinevalt näiteks lihtintressist. Pidev liitintress on enim levinud intressi arvutamise viis soovitavate omaduste (lihtsa skaleeritavuse ja ajas püsivuse) tõttu.

Liitumise alus

Selleks et konverteerida ühe alusega intressimäära teisele alusele, tuleb kasutada

$r_{2}=\left[\left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{\frac {n_{1}}{n_{2}}}-1\right]{n_{2}},$

kus r₁ on intressimäär liitumise sagedusega n₁ ja r₂ on intressimäär liitumise sagedusega n₂.

Kui tegu on pideva liitintressiga, siis

$\delta =n\ln {\left(1+{\frac {r}{n}}\right)},$

kus $\delta$ on intressimäär pideva liitintressi korral ja r on intressimäär liitumise sagedusega n.

Iga kuu amortiseeruv laen või hüpoteeklaen

Amortiseeruva ehk ühtlase igakuise maksega (kuni laen on makstud) laenu või hüpoteegi intressi arvutatakse liitintressi valemiga sageli iga kuu. Valem maksete suuruse kohta tuletatakse järgmises peatükis.

Igakuise makse täpne valem

Igakuise makse ($c$) täpne valem on

$c={\frac {Pr}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}$

või samahästi

$c={\frac {Pr}{1-e^{-n\ln(1+r)}}}$,

kus

$c$ = igakuine makse;

$P$ = põhisumma;

$r$ = igakuine intressimäär;

$n$ = makseperioodide arv.

Selle saab tuletada, kui arvutada laenujääki igal järgmisel kuul.
Põhisumma, mis on alles peale esimest kuud, on

$P_{1}=(1+r)P-c$

See tähendab, et algsumma on vähenenud makse võrra.
Kui kogu laen makstakse tagasi ühe kuuga, siis

$P_{1}=0$, seega $P={\frac {c}{1+r}}$

Peale teist kuud $P_{2}=(1+r)P_{1}-c$ on alles, seega

$P_{2}=(1+r)((1+r)P-c)-c$

Kui kogu laen makstakse tagasi kahe kuuga, siis

$P_{2}=0$, so $P={\frac {c}{1+r}}+{\frac {c}{(1+r)^{2}}}$

Seda võrrandit saab üldistada n kuu jaoks, $P=c\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(1+r)^{j}}}$. See on geomeetriline jada, mille summa on

$P={\frac {c}{r}}\left(1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}\right)$

ning mille saab teisendada kujule

$c={\frac {Pr}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}={\frac {Pr}{1-e^{-n\ln(1+r)}}}$

Igakuise makse ligikaudne valem

Valem, mis peab paika mõne protsendi ulatuses, tuleneb asjaolust, et tüüpiliselt kehtib $I<8\%$ ja koguperioodid $T$= 10–30 aastat), seega igakuine intressimäär on märgatavalt väiksem ühest: $r<<1$, seega $\ln(1+r)\approx r$, mis viib meid järgmise lihtsustuseni

$c\approx {\frac {Pr}{1-e^{-nr}}}={\frac {P}{n}}{\frac {nr}{1-e^{-nr}}}$,

mis omakorda viitab abimuutujate kasutusele võtmise mõistlikkusele

$Y\equiv nr=IT$

$c_{0}\equiv {\frac {P}{n}}$.

Siin on $c_{0}$ igakuine makse nullintressiga laenule, mis tuleb tagasi maksta $n$osas. Selliste muutujatega võib lähenduse kirjutada kujul

$c\approx c_{0}{\frac {Y}{1-e^{-Y}}},$

$f(Y)\equiv {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}-{\frac {Y}{2}}$ on paarisfunktsioon:

$f(Y)=f(-Y)$

mis viitab, et seda saab ritta arendada $Y$ paarisarvuliste astmete kaudu.

Sellest omakorda järgneb, et ${\frac {Y}{1-e^{-Y}}}$ saab ritta arendada $Y$ paarisarvuliste astmetena pluss liige: $Y/2.$

Kasulik on defineerida

$X={\frac {1}{2}}Y={\frac {1}{2}}IT$

nii, et

$c\approx c_{0}{\frac {2X}{1-e^{-2X}}}$,

mida saab ritta arendada:

$c\approx c_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}-{\frac {1}{45}}X^{4}+...\right)$,

kus punktid viitavad liikmetele, mis on kõrgemat järku $X$ paarisarvuliste astmetega liikmed. Rittaarendus

$P\approx P_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}\right)$

on 1% täpsusega, kui $X\leq 1$.

Hüpoteegimakse näide

10 000 € hüpoteegi korral, mis on võetud 30 aastaks intressimääraga 4,5%, saame:

$T=30$

$I=0.045$,

mis annab

$X={\frac {1}{2}}IT=0,675$,

seega

$P\approx P_{0}\left(1+X+{\frac {1}{3}}X^{2}\right)=333,33(1+0,675+0,675^{2}/3)=608,96$ €

Täpne maksesumma on $P=608,02$ €, seega lähendus oli kuuendikuprotsendine ülehinnang.

Ajalugu

Kunagi peeti liitintressi kõige hirmsamaks liigkasuvõtmiseks ja see oli rangelt hukka mõistetud nii Rooma õiguses kui ka eri riikide tavaõiguses.

Firenze kaupmees Francesco Balducci Pegolotti pakkus ligikaudu aastal 1340 raamatus "Pratica della mercatura" välja liitintresside tabeli. See tabel annab intressid 100-liirisele laenule vahemikus 1%–8% kuni 20 aastaks.

Richard Witti raamat "Arithmetical Questions" (1613) oli liitintressi ajaloos tõeline nurgakivi. See oli pühendatud täielikult liitintressile, kuivõrd varasemad autorid olid liitintressi vaid põgusalt ühe matemaatikaõpiku peatükis käsitlenud. Witti raamat sisaldas tabeleid, mis baseerusid 10% intressimääral (tolle aja maksimaalne lubatud intressimäär laenudele) ning ka teistsugustel intressimääradel, mida kasutati muul otstarbel, näiteks kinnisvara rentimise hindamiseks. Witt oli matemaatika praktiseerija Londonis ning tema raamat saavutas tuntuse tänu väljenduse selgusele, sügavusele ja arvutuste täpsusele. Raamat sisaldas 124 elulist näidet koos põhjalike arvutuskäikudega.

Jacob Bernoulli avastas konstandi $e$ aastal 1683, kui uuris liitintressi.

Vaata ka

• Lihtintress
• Krediitkaardi intress
• Eksponentsiaalne kasv
• Intress
• Intressimäär