Lagrange'i keskväärtusteoreem

Allikas: Vikipeedia

Lagrange'i keskväärtusteoreem on üks matemaatilise analüüsi põhilisi tulemusi. Kõlab ta järgnevalt: kui funktsioon f on pidev lõigus [a, b] ning tal leidub lõplik tuletis vahemikus (a, b), siis leidub c \in  (a, b) nii, et f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Tõlgendusi[muuda | redigeeri lähteteksti]

Geomeetriline tõlgendus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Lagrange'i keskväärtusteoreem.svg

Geomeetriliselt ütleb Lagrange'i keskväärtusteoreem, et kui funktsioon f on pidev mingis lõigus [a, b] ning diferentseeruv vahemikus (a, b), siis leidub a ja b vahel niisugune arv c, et funktsiooni f graafiku puutuja kohal c on paralleelne punkte (a,f(a)) ning (b,f(b)) läbiva lõikajaga.

Füüsikaline tõlgendus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Lagrange'i keskväärtusteoreemi eeldustel leidub niisugune c \in  (a, b), et funktsiooni f väärtuse muutumise kiiruseks punktis c on teatavas mõttes funktsiooni f väärtuse keskmine muutumise kiirus lõigus [a, b]. Olgu näiteks funktsiooniks f auto läbitud teepikkuse sõltuvus ajast. Eeldame, et autol on igal ajahetkel olemas lõplik hetkkiirus (s. t. funktsioon f on kõikjal diferentseeruv; diferentseeruvusest järeldub ka pidevus). Lagrange'i keskväärtusteoreem ütleb nüüd, et kui auto keskmine kiirus teekonna jooksul oli 60 km/h, siis mingil ajahetkel selle teekonna jooksul oli auto hetkkiiruseks 60 km/h.

Tõestus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Olgu täidetud Lagrange'i keskväärtusteoreemi eeldused. Määratleme lõigus [a, b] uue funktsiooni g(x):=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a). Paneme tähele, et siis g(a)=g(b) ning funktsioon g on lõigus [a,b] pidev ja omab vahemikus (a,b) lõplikku tuletist, kusjuures iga x \in (a,b) korral g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. Rolle'i teoreemi põhjal leidub seega c \in (a, b) nii, et g'(c) = 0 ehk f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0, m. o. t. t.