Kepleri seadused

Allikas: Vikipeedia
Kepleri kolme seaduse illustratsioon. (1) Orbiidid on ellipsid, kus esimese planeedi fookusteks on ƒ1 ja ƒ2 ning teise planeedi fookusteks ƒ1 ja ƒ3. Päike asub fookuses ƒ1. (2) Kaks tumedamat sektorit A1 ja A2 on võrdsete pindaladega. Aeg, mis kulub planeedil 1, et katta sektorit A1, on võrdne ajaga, mis kulub, et katta sektor A2. (3) Orbitaalperioodide suhe planeedi 1 ja planeedi 2 jaoks on a13/2 : a23/2.

Kepleri seadused kirjeldavad planeetide liikumist ümber Päikese. Kolm Kepleri seadust on:

  1. Iga planeedi orbiit on ellips, mille ühes fookuses on Päike.
  2. Planeedi raadiusvektor katab võrdsete ajavahemike jooksul võrdsed pindalad.[1]
  3. Planeetide tiirlemisperioodide ruudud suhtuvad nagu nende orbiitide pikemate pooltelgede kuubid.

Seaduste tuletamisel ei arvestata planeetide vahelise interaktsiooniga ning eeldatakse, et piirjuhul \frac{m_{planeet}}{m_{P\ddot{a}ike}} → 0. Kepleri seadused moodustavad hea mudeli arvutamaks planeetide, mis ei erine liialt nendest piirangutest, orbiite.

Ajalugu[muuda | redigeeri lähteteksti]

Johannes Kepler avastas kaks esimest seadust, analüüsides Tycho Brahe[2] astronoomilisi vaatlusi. Oma töö avaldas ta 1609. aastal. Kolmanda seaduse avastas Kepler aastaid hiljem, mille avaldas 1619. aastal. 17. sajandi algul olid Kepleri seadused radikaalsed: valdavalt usuti, et taevakehade orbiidid on ideaalsed ringid. Orbiitide elliptilisus ei olnud vaatlusel tihti arusaadav ja seega on lihtne pidada neid ringikujulisteks. Esmalt arvutas Kepler planeet Marssi orbiiti, mis vihjas elliptilisele kujule. Sellest järeldas ta, et ka teistel taevakehadel, samuti nendel, mis asuvad Päikesest kaugemal, peab olema elliptilised orbiidid. Kepleri seadused esitasid tõsise väljakutse senisele üldtunnustatud geotsentrilisele Aristotelese ja Ptolemaiose maailmasüsteemile ning toetasid üldjoontes Mikołaj Koperniku heliotsentrilist teooriat, ehkki Koperinku teoorias olid planeetide orbiidid ikkagi ringikujulised.[2]

Peaaegu sajand hiljem tõestas Isaac Newton, et Kepleri seadused kehtivad kindlatel ideaalsetel tingimustel, mis piisavalt hea lähendusega esinevad Päikesesüsteemis, ja tulenevad Newtoni kolmest seadusest ja gravitatsiooniseadusest.[3][4] Kuna planeetidel on mass ja massist tulenev liikumise perturbatsioon, kehtivad Kepleri seadused ainult ligikaudselt ja ei kirjelda täpselt Päikesesüsteemi sisemist liikumist.[3][5] Voltaire'i 1738. aastal avaldatud "Eléments de la philosophie de Newton" oli esimene publikatsioon, mis nimetas Kepleri seadusi seadusteks.[6] Koos Newtoni matemaatiliste teooriatega moodustavad Kepleri seadused osa tänapäeva astronoomiast ja füüsikast.[3]

Esimene seadus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kepleri esimest seadust kujutav joonis, kus Päike (M) asub ellipsi, mis on planeedi (m) orbiidiks, ühes fookuses.
Iga planeedi orbiit on ellips, mille ühes fookuses on Päike.

Ellips on matemaatiline kujund, mis meenutab kujult välja venitatud ringjoont. Päike ei asu ellipsi keskpunktis, vaid ühes fookustest. Ringjoon on ellipsi erijuht, kui mõlemad fookused langevad kokku ellipsi keskpunktiga. Ellipsi kuju kirjeldatakse parameetriga, mida kutsutakse ekstsentrilisuseks. Eksentrilisus on parameeter, mis võib muutuda nullist (tavaline ringjoon) üheni (ellips, mis on nii välja venitatud, et meenutab sirgjoont kahe fookuse vahel). Päikesesüsteemi planeetide orbiitide ekstsentrilisus on väikseim Veenusel (0,007)[7][8]. Ometigi pole isegi Merkuuri orbiit väga palju erinev ringjoonest. Samas on avastatud taevakehi, mille ekstsentrilisus on väga suur. Nende seas on palju komeete ja asteroide. Taevakehad, mille orbiit on paraboolne või hüperboolne, on võimalikud Newtoni teooria kohaselt, mis on hiljem vaatluste abil ka kinnitust leidnud.[9]

Ellipse latus rectum.PNG

Ellipsi võrrandi kuju polaarkoordinaatides

r=\frac{p}{1+\varepsilon\, \cos\theta}

kus r ja θ on ellipsi polaarkoordinaadid, p on fokaalparameeter ja ε on ekstsentrilisus. Kui vaatame ellipsit planeedi orbiidina kujutab r planeedi kaugust Päikesest ja θ on nurk planeedi hetkeasukoha ja Päikesele lähima asukoha vahel.

Kui θ = 0°, periheelion, siis on planeedi kaugus Päikesest minimaalne.

r_\mathrm{min}=\frac{p}{1+\varepsilon}.

Kui θ = 90° või θ = 270°, siis kaugus on p.

Kui θ = 180°, apheelion, on kaugus maksimaalne.

r_\mathrm{max}=\frac{p}{1-\varepsilon}.

Pikem pooltelg a on aritmeetiline keskmine rmin ja rmax vahel:

\,r_\max - a=a-r_\min,

seega

a=\frac{p}{1-\varepsilon^2}.

Lühem pooltelg b on geomeetriline keskmine rmin ja rmax vahel:

\frac{r_\max} b =\frac b{r_\min},

seega

b=\frac p{\sqrt{1-\varepsilon^2}}.

Fokaalparameeter p on harmooniline keskmine rmin ja rmax vahel:

\frac{1}{r_\min}-\frac{1}{p}=\frac{1}{p}-\frac{1}{r_\max}.

Ekstsentrilisus ε on variatsioonikoefitsent rmin ja rmax vahel:

\varepsilon=\frac{r_\mathrm{max}-r_\mathrm{min}}{r_\mathrm{max}+r_\mathrm{min}}.

Ellipsi pindala on

S=\pi a b\,.

Erijuhul, kui on tegemist ringiga, on ε = 0, mis annab r = p = rmin = rmax = a = b ja S = π r2.

Esimese seaduse tuletamine

Esimese seaduse tuletamiseks peab esmalt defineerima

\ u =pr^{-1}\,,

kus konstant

p=\ell ^2 G^{-1}M^{-1}\,

on pikkuse dimensiooniga. Seega

GMr^{-2}=\ell^2 p^{-3}u^{2}

ja

\ \dot \theta =\ell r^{-2}=\ell p^{-2}u^2.

On üle mindud diferentsieerimiselt aja järgi diferentsieerimisele nurga järgi:

\ \dot X=\frac {dX}{dt}=\frac {dX}{d\theta}\cdot\frac {d\theta}{dt}=\frac {dX}{d \theta}\cdot \dot\theta=\frac {dX}{d \theta}\cdot\ell p^{-2}u^2.

Diferentseerides

\ r =pu^{-1}

kaks korda, on tulemuseks

\dot r = \frac{d(pu^{-1})}{d\theta}\cdot\ell p^{-2}u^{2} = -pu^{-2}\frac{du}{d\theta}\cdot\ell p^{-2}u^{2}= -\ell p^{-1}\frac{du}{d\theta}
\ddot r = \frac{d\dot r}{d\theta}\cdot\ell p^{-2}u^{2}
= \frac{d}{d\theta}\left(-\ell p^{-1} \frac{du}{d\theta}\right)\cdot\ell p^{-2}u^{2}
= -\ell^2 p^{-3}u^{2}\frac{d^2 u}{d\theta^2}.

Asendades radiaalsesse liikumisvõrrandisse

\ddot r - r\dot\theta^2 = -GMr^{-2}

saab

-\ell^2 p^{-3}u^2\frac{d^2u}{d\theta^2} - (pu^{-1})(\ell p^{-2}u^2)^2 = -\ell ^2 p^{-3} u^2.

Jagades parema poolega saab lihtsa mittehomogeense lineaarse diferentsiaalvõrrandi:

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = 1 .

Ilmne lahend sellele võrrandile on ringikujuline orbiit

\ u = 1.

Ülejäänud lahendeid saab, kui otsida lahendit konstantsete kordajatega homogeensele lineaarsele diferentsiaalvõrrandile

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = 0.

Vastavad lahendid on

\varepsilon\cdot\cos(\theta-\theta_0)

kus ε ja \scriptstyle \theta_0\, on suvalised integreerimiskonstandid. Seega tulemuseks on

\ u = 1+ \varepsilon\cdot\cos(\theta-\theta_0).

Valides koordinaatsüsteemi telje nii, et \scriptstyle \, \theta_0=0, ja lisades \scriptstyle  u=pr^{-1} saab

\ pr^{-1 }  = 1+  \varepsilon\cdot\cos\theta ,
\ r  = \frac{p}{1+  \varepsilon\cdot\cos\theta} .
Kui \scriptstyle  |{ \varepsilon}|<1 , on see ellipsi võrrand ja illustreerib Kepleri esimest seadust.

Teine seadus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Planeedi raadiusvektor katab võrdsetes ajavahemikes võrdsed pindalad.[1]

Mõistmaks Kepleri teist seadust eeldame, et planeedil kulub üks päev liikumaks punktist A punkti B. Jooned Päikeselt punktidesse A ja B koos planeedi orbiidiga määravad piisavalt heas lähenduses kolmnurkse ala. Olenemata, kus kohas planeet paikneb kaetab tiirlev planeet iga päev sama suure pindala. Nagu väidab Kepleri esimene seadus peab planeet liikuma mööda elliptilist orbiiti paiknedes seega eri aegadel Päikesest eri kaugustel. Seega peab planeet liikuma kiiremini paiknedes Päikesele lähemal ja aeglasemalt olles Päikesest kaugemal, et katta sama suur ala.

Kepleri teine seadus vastab faktile, et jõukomponent, mis on risti raadiusvektoriga, on null. Kiirus, millega liigub segment, on vastavuses impulsimomendiga ja seega esitab Kepleri teine seadus impulsimomendi jäävust. Kirjutades valemina:

\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}r^2 \dot\theta\right) = 0,

kus \tfrac{1}{2}r^2 \dot\theta on kiirus, millega pind liigub.

Tuntud ka võrdsete pindade reeglina, mis kehtib ka hüperboolsetele- ja paraboolsetele trajektooridele.

Teise seaduse tuletamine

Tuletamaks Kepleri teist seadust on vaja tangentsiaalkiirenduse võrrandit.

Suurus

\ell = r^2 \dot \theta \,

on liikumisintegraal, isegi kui nii kaugus r, nurkkiirus \dot\theta kui ka tangentsiaalkiirus  r \dot \theta   muutuvad, sest

\frac{d\ell}{dt} =\frac{d(r^2 \dot \theta)}{dt} = r^2 \ddot \theta+2r \dot r\dot \theta=r(r \ddot \theta+2\dot r \dot \theta)=0

kus avaldis : r \ddot \theta+2\dot r \dot \theta  kaob vastavalt tangentsiaalkiirenduse võrrandile. Integreerides pinda ajast t1 kuni ajani t2 saab võrrandi

\ \int_{t_1}^{t_2}\frac 1 2 \cdot r\cdot r\dot \theta \, dt = \frac 1 2 \cdot\ell \cdot(t_2-t_1)
mis sõltub ainult ajaperioodi pikkusest, ehk t2 − t1. See ongi Kepleri teine seadus.

Kolmas seadus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Planeetide tiirlemisperioodide ruudud suhtuvad nagu nende orbiitide pikemate pooltelgede kuubid.

Kolmas seadus kirjeldab suhet planeedi kauguse Päikesest ja taevakeha tiirlemisperioodi vahel. Olgu näiteks planeet A neli korda Päikesest kaugemal kui planeet B. Seega peab planeet A läbima iga tiiruga neli korda pikema vahemaa kui planeet B. Planeet A liigub kaks korda aeglasemalt kui planeet B, et säiliks tasakaal vähenenud tsentripetaaljõuga, mis tuleneb gravitatsioonilisest tõmbest. Kokku kulub planeet A-l 4×2=8 korda kauem aega, et teha üks üks täistiir ümber Päikese kui planeedil B. See on vastavuses Kepleri kolmanda seadusega (82=43).

Kolmandat seadust tunti ka harmoonilise seadusena[10], kuna Kepler kasutas seda katses määrata „kerade muusika“ täpseid reegleid ja esitada neid muusikalises kirjaviisis.[11]

Praegusel ajal kasutatakse kolmandat seadust, et kindlaks teha eksoplaneedi kaugus tähest, mille ümber see tiirleb. Kauguse määramine aitab kindlaks teha, kas planeet on sobilik eluks.[12]


Valemites väljendades:

 T^2 \propto a^3 \, ,

kus T on planeedi tiirlemisperiood ja a on orbiidi pikem pooltelg.

Võrdelisuse konstant on sama iga Päikese ümber tiirleva planeedi jaoks.

\frac{T_{\rm planeet}^2}{a_{\rm planeet}^3} = \frac{T_{\rm Maa}^2}{a_{\rm Maa}^3}.

Konstandi väärtuseks tuleb 1(täheaasta)2(astronoomiline ühik)−3. Arvutades tulemuse välja saab 2.97472505×10–19 s2m−3.

Kolmanda seaduse tuletamine

Erijuhul, kui tegu on ringikujuliste orbiitidega, mis on ellipsid eksentrilisusega null, on suhet orbiidi raadiuse a ja perioodi T vahel üpriski lihtne tuletada. Ringliikumise tsentripetaaljõud on võrdeline a/T2, mis omakorda on võrdeline 1/a2. Seega

P^2 \propto a^3

Üldiselt on tegemist aga elliptiliste orbiitidega ja seega on ka tuletuskäik keerukam.

Elliptilise planeedi orbiidi pindala on

S=\pi a b=\pi a(a\sqrt{1-\varepsilon^2})=\pi a^2\sqrt{1-\varepsilon^2}\, .

Kiirus, millega raadiusvektor katab orbiidi pinda on

\dot S=\ell/ 2 \,,

kus

\ell^2=pGM=a(1-\varepsilon^2)GM \,.

Orbiidi periood on

T=\frac{S}{\dot S} =\frac {\pi a^2\sqrt{1-\varepsilon^2}}{\ell/2}=2\pi\frac {a^2\sqrt{1-\varepsilon^2}}{\ell}\,,

millest tuleneb

\left(\frac P{2 \pi}\right)^2=\left( \frac {a^2\sqrt{1-\varepsilon^2}}{\ell}\right)^2 = \frac {a^4(1-\varepsilon^2)}{\ell^2} = \frac {a^4(1-\varepsilon^2)}{a(1-\varepsilon^2)GM }=\frac{a^3}{GM}\,,

mis omakorda näitab Kepleri kolmandat seadust

P^2 \propto a^3. \,

Üldistus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kepleri seadused kirjeldavad ligikaudselt kahe keha liikumist orbiidil üksteise ümber. Kahe keha massid võivad olla peaaegu võrdsed, näiteks Charon ja Pluuto (erinevus ~1:10), väikese erinevusega, näiteks Kuu ja Maa (~1:100), või suure erinevusega, näiteks Merkuur ja Päike (~1:10 000 000).

Kahe keha liikumise korral sõltub tiirlemine süsteemi barütsentrist (punk, mille ümber kehade süsteem tiirleb), kuna kummagi keha massikese ei asu täpselt ühes ellipsi fookuses. See-eest on mõlemad orbiidid ellipsid, mille üks fookus asub barütsentris. Juhul, kui masside suhe on suur, võib barütsenter olla suurema keha sees massikeskme lähedal. Sellisel juhul on tarvis keerukat täppismõõtmist, et eristada barütsentrit suure keha massikeskmest. Taevakehadest, mis tiirlevad ümber Päikese, on suurima massiga Jupiter (masside suhe 1/1047,3486) ja Saturn (1/3497,898)[13], seega on juba pikka aega teatud, et Päikesesüsteemi massikese võib kohati paikneda väljaspool Päikest.[14], mõnikord kuni Päikese diameetri kaugusel Päikese keskmest. Seega Kepleri esimene seadus, ehkki ligikaudselt piisavalt täpne, ei kirjelda klassikalise füüsika abil planeetide tiirlemist ümber Päikese.

Null eksentrilisus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kui planeedi orbiidi eksentrilisus on null, siis Kepleri seadused väidavad:

  1. planeedi orbiit on ringjoon
  2. Päike paikneb orbiidi keskkohas
  3. planeedi liikumise kiirus orbiidil on konstantne
  4. täheperiood ruudus on võrdeline kaugusega Päikesest kuubis

Kuue planeedi, mis olid Kopernikusele ja Keplerile teada, eksentrilisused on üpriski väikesed, mis võimaldab hea täpsusega hinnata planeetide liikumist lähtudes neist punktidest.

Kuna ühtlast ringliikumist peeti normaalseks siis kõrvalekaldeid taolisest liikumisest peeti anomaaliateks. Kepler täiendas Kopernikuse mudelit, saades uuteks reegliteks:

  1. planeedi orbiit ei ole ringjoon vaid ellips
  2. Päike ei asu orbiidi keskkohas vaid fookuspunktis
  3. nii planeedi joonkiirus kui ka nurkkiirus muutuvad
  4. täheperiood ruudus on võrdeline miinimumkauguse ja maksimumkauguse aritmeetilise keskmisega kuubis

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. 1,0 1,1 Bryant, Jeff; Pavlyk, Oleksandr. "Kepler's Second Law", "Wolfram Demonstrations Project". Retrieved December 27, 2009.
  2. 2,0 2,1 Holton, Gerald James; Brush, Stephen G. (2001). Physics, the Human Adventure: From Copernicus to Einstein and Beyond (väljaanne 3rd paperback ). Piscataway, NJ: Rutgers University Press. pp. 40–41. ISBN 0-8135-2908-5. Vaadatud 27. detsember 2009. 
  3. 3,0 3,1 3,2 G E Smith, "Newton's Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", Historical context ... in The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2008 Edition), Edward N. Zalta (ed.).
  4. Book 1, Proposition 13, Corollary 1, Book 1, Proposition 65, (Proposition 65, Case 1), Book 3, Proposition 13.
  5. page 1 H C Plummer (1918), An introductory treatise on dynamical astronomy, Cambridge, 1918.
  6. Wilson, Curtis (Mai 1994). "Kepler's Laws, So-Called". HAD News (Washington, DC: Historical Astronomy Division, American Astronomical Society) (31): 1–2. Vaadatud 27. detsember 2009. 
  7. "NASA Venus: Facts & Figures"
  8. "NASA Mercury: Facts & Figures"
  9. "SECCHI Makes a Fantastic Recovery!", Brian Dunbar 2008
  10. Gerald James Holton, Stephen G. Brush (2001). Physics, the Human Adventure. Rutgers University Press. p. 45. ISBN 0813529085. 
  11. Burtt, Edwin. The Metaphysical Foundations of Modern Physical Science. p. 52.
  12. http://www.astro.lsa.umich.edu/undergrad/Labs/extrasolar_planets/pn_intro.html
  13. Astronomical Almanac for 2008, lehekülg K7
  14. 'Principia', Book 3, Proposition 12

Kirjandus[muuda | redigeeri lähteteksti]

  • Kepleri elulugu on võetud kokku lehekülgedel 523–627, samuti viiendas raamatus tema magnum opuses, Harmonice Mundi (harmonies of the world), uuesti trükitud lehekülgedel 635–732 raamatus On the Shoulders of Giants: The Great Works of Physics and Astronomy (works by Copernicus, Kepler, Galileo Galilei, Newton, and Einstein). Stephen Hawking, 2002 ISBN 0-7624-1348-4
  • J. L. Meriam "Dynamics" leheküljed 161–164, ilmunud 1966 ja 1971, toimetaja John Wiley, New york, ISBN 0-471-59601-9
  • Murray and Dermott, Solar System Dynamics, Cambridge University Press 1999, ISBN 0-521-57597-4
  • V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Chapter 2. Springer 1989, ISBN 0-387-96890-3

Välislingid[muuda | redigeeri lähteteksti]