Eralduvusaksioomid

Et topoloogiline ruum on väga üldine mõiste, piirdutakse topoloogias ja topoloogiaga seotud matemaatikaharudes sageli teatud kitsendusi rahuldavate topoloogiliste ruumide vaatlemisega. Eralduvusaksioomid on ühed niisugused kitsendused.

Eralduvusaksioomid on aksioomid selles mõttes, et kui neid lisada topoloogilise ruumi definitsioonis topoloogilise ruumi aksioomidele, saaksime uue, kitsama topoloogilise ruumi mõiste. Tänapäevase lähenemise kohaselt kasutatakse väljendit "topoloogiline ruum" kõikjal vaid ühes tähenduses (nii nagu ta on määratletud artiklis Topoloogiline ruum) ning kõneldakse erinevat liiki topoloogilistest ruumidest. Nimetus eralduvusaksioom on aga vanadest aegadest alles jäänud. Paljusid eralduvusaksioome tähistatakse T-tähega, mis tuleb saksakeelsest sõnast Trennung ("eraldamine").

Eralduvusaksioomides ettetulevate mõistete täpne tähendus on aja jooksul muutunud. Seepärast tuleb vanemat kirjandust lugedes tähele panna, kuidas antud autor on need mõisted määratlenud.

Definitsioonid

Topoloogilist ruumi $(X, \tau)$ nimetatakse

• T₀-ruumiks, kui mistahes kaks punkti $x_1, x_2 \in X,\ x_1 \ne x_2$ on topoloogiliselt eristatavad, s. t. punktil $x_1$ leidub ümbrus $O_1$ nii, et $x_2 \not\in O_1$, või leidub punktil $x_2$ ümbrus $O_2$ nii, et $x_1 \not\in O_2$;

• T₁-ruumiks, kui mistahes kahe punkti $x_1, x_2 \in X,\ x_1 \ne x_2$ korral leiduvad punkti $x_1$ ümbrus $O_1$ ja punkti $x_2$ ümbrus $O_2$ nii, et $x_2 \not\in O_1$ ning $x_1 \not\in O_2$;

• T₂-ruumiks ehk Hausdorffi ruumiks ehk eralduvaks ruumiks, kui kui mistahes kahe punkti $x_1, x_2 \in X,\ x_1 \ne x_2$ korral leiduvad punkti $x_1$ ümbrus $O_1$ ja punkti $x_2$ ümbrus $O_2$ nii, et $O_1 \cap O_2 = \empty$;

• regulaarseks, kui mistahes $\tau$-kinnise alamhulga $U \subset X$ ning mistahes punkti $x \in X \setminus U$ korral leiduvad hulga $U$ ümbrus $O_1$ ja punkti $x$ ümbrus $O_2$ nii, et $O_1 \cap O_2 = \empty$;

• normaalseks, kui mistahes kahe lõikumatu $\tau$-kinnise alamhulga $U_1, U_2 \subset X$ korral leiduvad hulga $U_1$ ümbrus $O_1$ ja hulga $U_2$ ümbrus $O_2$ nii, et $O_1 \cap O_2 = \empty$;

• täielikult regulaarseks, kui mistahes $\tau$-kinnise alamhulga $U \subset X$ ning mistahes punkti $x \in X \setminus U$ korral leidub pidev kujutus $f : X \to [0, 1]$ nii, et $f(U) = \{0\}$ ja $f(x) = 1$.