Elliptiline joon

Elliptiliste joonte kataloog. Näidatud on piirkond [−3,3]². (Kui a = 0 ja b = 0, siis funktsioon ei ole sile, mistõttu joon ei ole sile ning seetõttu ei ole elliptiline joon.

Elliptiline joon on sile projektiivne algebraline joon, mille sugu on 1, koos väljaeraldatud punktiga O. Sageli nimetatakse elliptiliseks kõveraks ka joont ennast ilma väljaeraldatud punktita O.

Elliptiline joon on tegelikult Abeli muutkond, st sellel on algebraliselt defineeritud korrutamine, mille suhtes see on (paratamatult kommutatiivne) rühm, mille ühikelement on O.

Iga elliptilise joone saab esitada tasandilise algebralise joonena, mille määrab võrrand kujuga

$y^{2}=x^{3}+ax+b$,

mis on mittesingulaarne (iseäraste punktideta), st selle graafikul ei ole sakke ega eneselõikamisi. (Kui koefitsientide korpuse karakteristik on 2 või 3, siis ülaltoodud võrrand ei kirjelda kõiki mittesingulaarseid tasandilisi kuupjooni. Täpne definitsioon on allpool.)

Punkt O on tegelikult projektiivse tasandi lõpmata kauge punkt.

Kui y² = P(x), kus P on muutuja x mis tahes kolmanda astme polünoom ilma kordsete juurteta, siis me saame mittesingulaarse tasandilise joone, mille sugu on 1, seega elliptilise joone. Kui P on ruutudeta neljanda astme polünoom, saame jälle tasandilise joone, mille sugu on 1, kuid puudub loomulik viis ühikelemendi valikuks. Üldisemalt, mis tahes algebralist joont, mille sugu on 1, näiteks kahe kolmemõõtmelisse projektiivsesse ruumi sisestatud kvadriku lõiget, nimetatakse elliptiliseks jooneks, kui sel on vähemalt üks ratsionaalne punkt, mida võtta ühikelemendiks.

Elliptiliste funktsioonide teoorias saab näidata, et üle kompleksarvude korpuse defineeritud elliptilised jooned vastavad toori sisestustele komplekssesse projektiivsesse tasandisse. Ka toor on Abeli rühm, ja see vastavus on tegelikult rühmade isomorfism.

Elliptilised jooned on eriti tähtsad arvuteoorias ning moodustavad tänapäeval olulise uurimisvaldkonna. Neid kasutasid näiteks Andrew Wiles ja Richard Taylor Fermat' suure teoreemi tõestamisel. Neid rakendatakse ka elliptiliste joonte krüptograafias ja naturaalarvude algteguriteks lahutamisel.

Elliptilised jooned ei ole ellipsid. Nad on saanud nime elliptiliste integraalide järgi.

Elliptilised jooned üle kompleksarvude korpuse on topoloogiliselt toorid.