Filtratsiooni põhiseadus

Filtratsiooni põhiseadus ehk Darcy seadus on eksperimentaalselt tuletatud võrrand, mis kirjeldab vedelike voolamist läbi poorse keskkonna.

Seadust kirjeldas prantsuse insener Henry Darcy 1858. aastal ning seda kasutatakse peamiselt põhjavee liikumise uurimisel ja kirjeldamisel. Darcy seadus kehtib selle avastamisest saadik kõikide newtonlike vedelike puhul.

Taust

Kuigi seadust kirjeldas eksperimentaalsete katsete põhjal Darcy, on see tuletatud Navier-Stokes'i homogenisatsiooni võrrandist. Samuti on see analoogne Fourier' seadusele soojusjuhtivuse vallas, Ohmi seadusele, mis puudutab elektrisüsteeme, või Ficki difusiooni teooriale.

Darcy eksperiment

Darcy katse

Darcy uuris vee liikumist läbi liivaga täidetud torude, mida algselt kasutati vee filtreerimiseks. Darcy eksperimendid näitasid, et toru ristlõiget läbiv vooluhulk on võrdeline toru otspunktide kõrguste vahega (veetasemete erinevus) ning pöördvõrdeline otspunktidevahelise kaugusega. Samuti selgus, et vooluhulk sõltub toru ristlõikepindalast ning toru täitva liiva ehk filtri omadustest. Eri tüüpi liivade mõju kirjeldamiseks lõi ta koefitsiendi K, mis iseloomustab filtri hüdraulilist läbitavust. Tulemuseks oli valem, mida tänapäeval tuntakse Darcy seadusena:

$Q=-KA{\frac {(h_{A}-h_{B})}{L}}$

Kus Q on kihti läbiv vooluhulk ajaühikus (L³/T) [L kujutab antud juhul pikkusühikut (mitte segi ajada valemis oleva L-ga, mis tähistab toru otspunktide vahelist kaugust) ja T aega]. A tähistab ristlõike pindala (L²), h_A-h_B otspunktide kõrguste vahet (L), K materjali läbitavuskoefitsienti (L/T).

Valemi paremal poolel olev märk "-" näitab, et põhjavee vool kulgeb vee rõhu kahanemise suunal.

Kirjeldus

Darcy seadus on lihtne vee vooluhulga sõltuvus poorse kihi hüdraulilisest läbitavusest, ristlõikepindalast, rõhu langusest ning veevoolu teepikkusest, nagu eelnevas valemis näidatud.

Kõrguste erinevus tingib potentsiaalide ja rõhkude erinevuse. Rõhu languse ja languseks kulunud teepikkuse suhet kutsutakse hüdrauliliseks gradiendiks. Kuna vedeliku potentsiaal E_p on võrdne kõrguse ja Maa raskuskiirenduse korrutisega, siis saab valemi kirjutada ka kujul:

$Q={\frac {-K*A*dE_{p}}{g*L}}$

Darcy seadus võtab kokku lihtsad matemaatilised seaduspärasused:

• Kui puudub rõhu gradient, siis voolamist ei toimu.
• Rõhu gradiendi olemasolul kulgeb vool kõrgemalt rõhult madalama poole.
• Mida suurem rõhu gradient, seda kiirem vool (läbi sama materjali).
• Erinevate materjalide puhul on voolukiirus erinev, isegi kui rõhu gradiendid on samad.

Hüdrauliline läbitavus

Darcy seaduse valemit ümber sättides on lihtsalt võimalik ära tõestada hüdraulilise läbitavuse dimensioon pikkus jagatud ajaga (L/T):

$K=-{\frac {Q}{A}}*{\frac {dh}{L}}$

Asendades valemis muutujad nende vastavate dimensioonidega, tuleb dimensiooniks:

$K={\frac {L^{3}}{L^{2}*T}}*{\frac {L}{L}}={\frac {L}{T}}$

Praktikas on selleks meetrit ööpäevas (m/d).

Filtratsiooni koefitsient K on funktsioon nii poorse kihi kui ka sealt läbi voolava vedeliku omadustest. Võib eraldi vaadelda veel kihi läbitavust ehk ainult poorse kihi enda omadustest sõltuvat läbitavust. Oletades, et kihis olevad osakesed on ühtse diameetriga d, siis on vooluhulk võrdeline nende osakeste diameetri ruuduga d². Samuti on sel juhul oluline osakeste kuju faktor C. Tulemuseks on uus konstant Ki ehk kihi läbitavuse konstant, mis on funktsioon pooriruumi suurusest ja kujust, mida vedelik läbib. Kihi läbitavuse konstandi dimensiooniks on (L²)

$K_{i}=Cd^{2}$

Valemis kasutatud kuju faktor C on dimensioonitu suurus.

Kihi läbitavuse valemi põhjal on võimalik teha järeldusi:

• Osakeste läbimõõdu mediaani suurenedes suureneb kihi läbitavus, sest suureneb pooriruum.
• Läbitavus väheneb, kui osakeste sorteeritus väheneb, sest halvasti sorteeritud materjali puhul täidavad peenemad osakesed suuremate vahel oleva pooriruumi.
• Jämedamate osakeste puhul väheneb kihi läbitavus sorteerituse vähenemise korral kiiremini kui peenosakeste puhul.

Rakendades Darcy seadust mingi kindla vedeliku puhul, ei saa arvestamata jätta ka vedeliku enda füüsikalisi omadusi. On ilmne, et mõni suure viskoossusega paks vedelik, nagu nafta, voolab aeglasema kiirusega kui vesi, mis on õhem ja väiksema viskoossusega. Sellest tulenevalt saab öelda, et vooluhulk on võrdeline vedeliku erikaaluga γ, mis näitab gravitatsioonilist jõudu ruumalaühiku kohta, ja pöördvõrdeline dünaamilise viskoossusega μ, mis on vedelike omadus takistada oma osakeste liikumist üksteise suhtes. Kui d² ja C on poorse kihi omadused, siis γ ja μ on vedeliku omadused.

Nüüd väljendub Darcy seadus kujul:

$Q=-{\frac {C*d^{2}*A*dh*\gamma }{\mu *L}}$

Filtratsiooni koefitsient ja kihi läbitavus suhtuvad teineteisesse kujul:

$K=K_{i}{\frac {\gamma }{\mu }}$

või

$K=Ki{\frac {pg}{\mu }}$

kus g on raskuskiirendus ja p on tihedus. Naftatööstuses, kus ollakse eriti huvitatud vedeliku voolamise omadustest ja kiirusest läbi erinevate poorsete kihtide, kasutatakse kihi läbitavuse ühikuna ruutmikromeetrit μm². Tihtipeale kasutatakse ruutmikromeetri asemel ühikuna darcyt.

1 darcy ~ 1 μm²

Vedeliku viskoossus ja tihedus sõltuvad selle temperatuurist. Mida külmem on vedelik, seda viskoossem see on. Tihedusega on olukord keerulisem: vee tiheduse maksimum on 4 °C juures ja sealt temperatuuri kasvades või kahanedes tihedus väheneb. Poorse kihi filtratsioonikoefitsient varieerub sõltuvalt vee temperatuurist ja soolsusest, mis muudavad vee viskoossust ja erikaalu. Laboratoorsete standardite järgi on hüdrauliline läbitavus defineeritud puhtal veel 15,6 °C juures.

Materjalide läbitavusi

Materjal	Loomuomane läbitavus (μm2)	Hüdrauliline läbitavus (cm/s)
Savi	10−6–10−3	10−9–10−6
Aleuroliit, savikas liiv	10−3–10−1	10−6–10−4
Aleuroliitne liiv, peenliiv	10−2–1	10−5–10−3
Hästi sorteeritud liiv, mandrijää setted	1–102	10−3–10−1
Hästi sorteeritud kruus	10–103	10−2–1

Tabelist on hästi näha, et konsolideerumata jämedateralistel osakestel, nagu kruusas ja liivas, võib läbitavus olla miljoneid kordi suurem, kui see on peeneteralistel osakestel, nagu savis. Seetõttu ongi kruus ja liiv põhilised põhjavee tootjad. Vastupidi savile, mida kasutataksegi just hoopis vee liikumise pidurdamiseks näiteks prügilates ja reostunud paikades, et peatada saaste levikut. Mida väiksemad on poorid ja pooriavad, seda suurem on eripind, millega vedelik peab kontakteeruma. See tingib suurema hõõrdumise vedeliku ja tahke faasi osakeste vahel ning takistab voolamist.

Darcy seaduse rakendatavus

Et seisev vedelik saaks liikuma hakata, peab see ületama takistuse, mis on põhjustatud vedeliku viskoossusest. Aeglaselt liikuvates vedelikes domineerivad viskoossusjõud. Energia tase on väike ja sellest tulenevalt on voolamine laminaarne. Laminaarsel voolamisel jälgivad veemolekulid kindlaid paralleelseid voolujooni. Voolu kiiruse suurenedes suureneb ka vedeliku kineetiline energia. Mingil hetkel muutuvad liikumisest tingitud inertsijõud domineerivamaks kui viskoossusjõud ning veemolekulid hakkavad üksteise suhtes korrapäratult liikuma. Tulemuseks on turbulentne vool, kus veemolekulid ei jälgi enam paralleelseid voolujooni. Sellised juhul ei haju potentsiaalne energia enam teepikkusega lineaarselt ja Darcy seadus ei kehti. Aru saamaks, kas vool on laminaarne või turbulentne, peame vaatama Reynoldsi arvu, mis ühendab seda määravad neli faktorit.

$R=pqd/\mu$

kus: R on Reynoldi number, dimensioonitu, p on vedeliku tihedus (M/L³), q on voolu kiirus (L/T), d on ava läbimõõt, mida mööda vedelik liigub (L), ja μ on viskoossus (M/T*L).

Kuigi Reynoldi number ei sea laminaarse ja turbulentse voolamise vahel täpselt piiri, on kindel, et kui see jääb alla ühe, on tegu laminaarsega, ja kui alla kümne, on suure tõenäosusega tegu laminaarse vooluga. Seega kehtib Darcy seadus ainult väga aeglaselt liikuva vedeliku puhul. Enamikul juhtudel kuulub põhjavesi siiski väga aeglaselt liikuvate hulka.